Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 209 
2. 
Angenommen die Curve dritter Ordnung (1) trage die » rationalen 
Punkte (4), aber keine weiteren. Dann muss das von diesen Punkten 
gebildete System offenbar die Eigenschaft haben, dass die Verbindungs- 
gerade von irgend zwei (gleichen oder verschiedenen) Punkten des 
Systems die Curve zum dritten Male in einem Punkte trifft, der 
ebenfalls dem Systeme angehört. Ein derartig in sich abgeschlossenes 
System will ich eine „vollständige“ Punktgruppe nennen und nun 
die Aufgabe behandeln, alle vollständigen Punktgruppen, die auf der 
Curve liegen, zu bestimmen. 
Es bezeichne « irgend einen Punkt der Punktgruppe (4); so 
gehört nach: Satz 1 auch jeder Punkt (3%—+-1)u der Gruppe an. 
Unter mehr als » Werten der ganzen Zahl k muss es demnach zwei 
verschiedene % und %” geben, für welche (3% —+1)u=(3k" +1)u 
oder 3" — k)u=0 ist. Also ist u ein aliquoter Teil einer Periode. 
Man kann daher, wenn m eine geeignet gewählte positive ganze 
Zahl bezeichnet, 
7 a w + Bı%, e 0,0, + PaWs mW, + PnWwz 
RR euer SIR iu RER de Sr 
setzen, unter &, fi, --- @,, ß, ganze Zahlen verstanden. 
Nach Satz 1 ist nun jeder Punkt 
.® vohum tkm + ta Un kurt + KnroWg 
ein Punkt der vollständigen Gruppe, wenn A,, Ay,...4A,, Auın Äuxa 
irgend welche ganze Zahlen bezeichnen, welche der Bedingung (6) 
genügen, d.h. für die 
(9) uth+.+h,=3k +1 
ist. Die durch die Parameter (8) bestimmten Punkte lassen auch 
keinen Punkt der Gruppe aus, wie die Annahme ,=1, 4, =, für 
k=#i, zeigt. Durch Elimination von A, zwischen (8) und (9) kommt 
10) v=wm+k:3u +, — u) + +4, —u)+ 
+ kuzı wı + knra We 
An Stelle von 
a A m 
werde nun bez. gesetzt 
1 
m 
a L (a, u + di we), — (Az wı + bzw), .- » —, (a,w, + b,w.). 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 62. 1917. 14 
