Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 31 
von M ist. Die Zahl e, ist ein Divisor von m, die Zahl e, ein Divi- 
sor von &. Durch Ausführung der Substitutionen $ und 7 geht die 
Gleichung (11), wenn Einfacheit halber das neue Periodenpaar w,, w; 
wieder mit w,, ws bezeichnet wird, über in 
* oder 
; er w Ws 
(16) v=u+tk Ar; + k, m 
wo m, ein Divisor von m, und m, ein Divisor von m, ist. 
Man erhält offenbar schon sämtliche untereinander incongruente 
Werte v, die in der Gestalt (16) enthalten sind, wenn man k, ein 
Restsystem mod. m, und %, ein solches mod. m, durchlaufen lässt. 
Da aber die Punkte v mit den nPunkten der vollständigen Punkt- 
gruppe (%ı, %y, .. . %,) übereinstimmen, ist 
(17) n = m, My. 
Be Es sei jetzt umgekehrt «, irgend ein bestimmter Parameterwert, 
ferner ,, ws ein primitives Periodenpaar, und es seien m, und my 
zwei positive ganze Zahlen, von welchen die erste durch die zweite 
teilbar ist. Bildet man nun das System der Punkte (16), so wird 
dasselbe dann und nur dann eine vollständige Punktgruppe bilden, 
falls «, der Bedingung 
(18) 3u = 
Ws 
w, 
2 m, 
I m, 
+4 
genügt, wo A, und A, ganze Zahlen bedeuten. Dies ergibt sich sofort, 
wenn man zum Ausdruck bringt, dass die Verbindungsgerade irgend 
zweier der Punkte (16) die Curve dritter Ordnung zum dritten Male 
ebenfalls in einem der Punkte (16) schneiden soll. Das Punktsystem 
(16) ändert sich nun nicht, wenn man u, ersetzt durch 
(19) u-m-r, ren 
wobei r, und r, beliebig, aber fest zu wählende ganze Zahlen sind. 
Es tritt dann an die Stelle von (18) die Bedingung 
2 f y. 
(20) Sul ör +(%,+3r,) m. 
Die höchsten in m; bezw. m, aufgehenden Potenzen von 3 seien 
3° bezw. 3%, so dass 
(21) 
a [73 r 
m, = 8 mi, Mg = 3 ’ Me 
