Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 213 
Punktgruppe auch durch (22°) darstellen. Analoges gilt in den übrigen 
Fällen, so dass man in den Darstellungen 22», 22°, 224 
wein »1 
voraussetzen darf. Ist die Anzahl » = m, m, der Punkte einer voll- 
ständigen Gruppe nicht durch 3 teilbar, so findet also immer die 
} Darstellung 22° statt und es gehört dann insbesondere der Wende- 
punkt v = 0 notwendig zu den Punkten der Gruppe. 
3. 
Wenn die Curve dritter Ordnung reell ist, so erhebt sich die 
Frage nach der Constitution derjenigen vollständigen Punktgruppen, 
die aus lauter reellen Punkten bestehen und die ich kurz als „reelle“ 
Gruppen bezeichnen will. Man hat dabei zwei Fälle zu unterscheiden. 
Erster Fall. Die Curve ist einteilig. Die Parameterverteilung 
lässt sich dann so einrichten, dass den reellen Curvenpunkten die- 
jenigen Parameterwerte entsprechen, welche zu reellen Werten con- 
gruent sind. Das primitive Periodenpaar kann so gewählt werden, 
dass die erste Periode reell ist (während die zweite Periode komplex 
ist). Bilden nun die Punkte (4) eine vollständige reelle Gruppe, so 
dürfen ihre Parameter ı,, u,, ... u, reell vorausgesetzt werden und 
in den Gleichungen (7) fallen die Glieder in w, fort, wenn dort w, 
die reelle, w, die complexe Periode bedeutet. Ebenso können jetzt 
in der Gleichung (11) die Glieder in w, unterdrückt werden, und 
da die Gesamtheit der Zahlen 
kıy-tkeaa +: +K,0, + kuzım 
übereinstimmt mit den sämtlichen Vielfachen des grössten gemein- 
samen Teilers von @,, Ag, ... @,, m, so wird 
a de ee a 
(28) v=u+k:,.(k=0,1,2...m—1) 
der Ausdruck für die Punkte der vollständigen Gruppe. Der Para- 
meter «, unterliegt wieder der Bedingung (18), in welcher 4, = 0 
zu nehmen ist. Er kann durch 
uk 
WW 
ri a 
ersetzt werden, unter r, eine ganze Zahl verstanden, über die sich 
so verfügen lässt, dass 
(24) 
_. +8% 
u 
