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Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 215 
nun ferner 2 die höchste Potenz von 2, die in m, aufgeht, so lässt 
sich vorstehender Wert auf die Form bringen 
28, W 
gar 1 
(27) Re 
ew w 
a dar ++ m’ 
wo s einer der beiden Werte 0 und 1, sowie h eine ganze Zahl ist. 
Denn es ergibt sich 
1 1 
h -,(- ee 
und dies wird entweder für = (0 oder für &=1 eine ganze Zahl. 
Setzt man nun für % den Wert (27) in (26) ein und beachtet, dass 
man statt A—k, wieder k, schreiben darf, so findet man für die 
Punkte des paaren Zuges den Ausdruck 
& ww EWw w w' 
zat1 + gh+i +k, m, 9 , ZN 1,2,...m —]). 
(28) v— 
Man überzeugt sich nun weiter leicht, dass die 2m, Punkte (25) und 
(28), wenn man & einen der beiden Werte 0 und 1 beilegt, wirklich 
eine vollständige Gruppe bilden. Demnach besteht der 
Satz 4. Der allgemeine Ausdruck der Systeme von 
Punkten einer zweiteiligen Curve dritter Ordnung, die eine 
reelle vollständige Gruppe bilden, ist entweder 
(29) ee u et... —1), 
gaı+1 m’ 
oder diese Gleiehung in Verbindung mit 
80), nt u © +4hm +3 (=0,1,:..m —1), 
ga +1 gPı+l 
je nachdem die Gruppe nur aus Punkten des unpaaren Zuges 
oder aus Punkten des unpaaren und des paaren Zuges be- 
steht. Dabei bedeutet m, eine positive ganze Zahl, 3° und gPı 
die höchsten Potenzen von 3 bezw. 2, die in m, aufgehen, & 
und sje einen der beiden Werte 0 und 1, endlich w die reelle, 
w die rein imaginäre Periode.') 
4. 
Es ist eine naheliegende Frage, ob die diophantische Gleichung 
dritten Grades 
(81) Se Y; 2) =D. 
1) Bezüglich der Sätze 3. und 4. vgl. Poincare, 1. c. p. 173. 
