216 A. Hurwitz. 
so gewählt werden kann, dass sie eine vorgeschriebene endliche 
Anzahl von Lösungen besitzt. Die vorstehenden Untersuchungen 
bieten einen gewissen Anhalt für die Erledigung dieser Frage, inso- 
fern sie die möglichen. Gruppierungen der den Lösungen entspre- 
chenden rationalen Punkte der Curve f(x, y, z) = 0 feststellen. Kommen 
alle diese Gruppierungen wirklich vor? Die Antwort hierauf allgemein 
zu geben, scheint sehr schwierig zu sein. Doch gelingt es, wie ich 
nunmehr näher ausführen will, in den niedrigsten Fällen die in Rede 
stehende Frage, und zwar im bejahenden Sinne, zu erledigen. Zunächst 
ist es leicht, solche Gleichungen (31) zu bilden, die überhaupt keine 
Lösung zulassen. Schon Euler’) hat ein Beispiel hiefür gegeben, 
nämlich die Gleichung 
(32) +pyY+r—0, 
wo p eine Primzahl bezeichnet. Der zugrunde liegende Körper ist 
natürlich der Körper der rationalen Zahlen. Würde die vorstehende 
Gleichung eine Lösung (x, y, z) besitzen, so müsste darin = durch p 
teilbar, also etwa = px’ sein. Dann wäre 
Part p+rP—0. 
Folglich müsste auch y durch p teilbar sein. Indem man so weiter 
schliesst, erkennt man, dass jede der Zahlen x, y, z eine beliebig 
hohe Potenz von p als Faktor enthalten müsste. Daher folgt «— y=2=0, 
d. h. die Gleichung (32) besitzt überhaupt keine Lösung. Ein vom 
algebraischen Standpunkte allgemeineres Beispiel bietet die Gleichung 
(33) +24? +42°49p(®, y,2) = 0, 
in welcher p(x, y,z) eine beliebig gewählte ganzzahlige Form dritten Er 
Grades bezeichnet. In der Tat, besässe die Gleichung (33) eine 
Lösung (x, y, 2), wobei die Zahlen x, y, z ohne einen allen gemein 
samen Teiler vorausgesetzt werden, so würde um so mehr die Congruenz 
x +2y’+42°=0 (mod. 9) 
eine solche Lösung besitzen. Diese Congruenz besteht aber, wie man | 
sich leicht überzeugt, nur dann, wenn die Zahlen x, y, 2 sämtlich 
durch 3 teilbar sind. 
Das Euler’sche Beispiel (32) lässt sich nach verschiedenen Rich 
tungen verallgemeinern. So besitzt zum Beispiel die diophantische 
Gleichung 
4) au +9 ra, +. tan" 0, 
!) Euler, Opera posthuma, I, pag. 217. 
Sa a ee 
