Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 217 
in welcher a,, @,, ...@a, irgend welche durch die Primzahl p nicht 
teilbare ganze Zahlen bedeuten, keine Auflösung. Noch allgemeiner 
hat diese Gleichung in einem beliebigen Zahlkörper keine Lösung, 
wenn für p ein Hauptprimideal des Körpers, für a,, a, ...a, durch 
p nicht teilbare ganze Zahlen des Körpers genommen werden. 
5. 
Besitzt die Curve dritter Ordnung (31) einen rationalen Wende- 
punkt, so wird auch die zugehörige Wendetangente, sowie der von 
der Wendetangente verschiedene geradlinige Bestandteil der ersten 
Polare des Wendepunktes rational sein. Indem man diese beiden 
Geraden und eine geeignet gewählte dritte rationale Gerade als 
Coordinatengeraden einführt, kann man die Gleichung (31) auf die 
Weierstrass’sche Normalform bringen: 
(35) yVz—=AR— mre — 982°, 
wo 9, und g, rationale Zahlen, d. h. Zahlen des zugrunde liegenden 
 Zahlkörpers, bedeuten. Diese Gleichung stellt also die allgemeinste 
Curve dritter Ordnung mit einem rationalen Wendepunkt («= 0,y=]1, 
2=0) vor. Soll nun insbesondere die Gleichung (31) nur eine ein- 
zige Lösung besitzen, so muss der entsprechende rationale Punkt ein 
Wendepunkt sein und die Gleichung lässt sich also auf die Gestalt (35) 
bringen. Macht man die Gleichung (35) inhomogen, indem man 2=1 
setzt und ändert die Bezeichnung in der Weise ab, dass man a für 
” — 92, ferner b für - 9; und 2, für y schreibt, so erhält man den 
Satz 5. Die Gleichung 
(86) | ?— 2 -+am+b 
stellt die allgemeinste Curve dritter Ordnung mit einem 
einzigen rationalen Punkt (ihrem unendlich fernen Wende- 
punkt) vor, wenn die rationalen Zahlen a und b so gewählt 
werden, dass die Quadratwurzel 
8%) Yart+ar+b 
für jeden rationalen Wert von & irrational ist. 
Ed Beispiele solcher Curven, wobei der zugrunde liegende ‚Körper 
der Körper der rationalen Zahlen ist, sind schon in der älteren Literatur 
' vorhanden. So trägt zum Beispiel die Curve!) 
88) + y+42°=0 
re t.. II, No. 333, 334. (S. 13 der deutschen 
, !) Legendre, Theorie des nombres, 
Übersetzung, Leipzig 1886.) 
