918 A. Hurwitz. 
nur den einen rationalen Punkt = 1, y=—.1,z=0. Die entspre- 
chende Quadratwurzel (37) lautet 
4 
V» + 97 y 
die also für jedes rationale x einen irrationalen Wert besitzt. Diese 
Wurzel lässt sich übrigens vermöge der Substitution von > # für & 
auch durch Y3(x? +4) ersetzen. Allgemeinere Beispiele von diophan- 
tischen Gleichungen dritten Grades mit nur einer Lösung haben Pepin 
und Lucas!) gegeben. Das Hauptergebnis, welches diese Autoren in 
den unten zitierten Arbeiten erhalten haben, möchte ich hier kurz 
auf neuem Wege begründen. 
Dabei bediene ich mich einer Methode, die ich seit vielen Jahren 
in meinen Vorlesungen verwende und die, wenn sie auch im Grunde 
genommen auf die «me&thode de descente» von Fermat hinauskommt, 
doch vor dieser meist den Vorzug grösserer Kürze und Übersicht- 
lichkeit besitzt. Die Methode besteht darin, dass ich unter der An- 
nahme der Existenz von Lösungen einer diophantischen Gleichung 
eine solche Lösung betrachte, welcher eine gewisse Minimumseigen- 
schaft zukommt, wie das aus dem nunmehr zu betrachtenden Beispiel . 3 
näher erhellen wird. Im Körper der dritten Einheitswurzeln, in 
welchen sich die folgenden Betrachtungen bewegen, behalten bekannt- 
lich die reellen Primzahlen p von der Form 3k +2 ihren Primzahl- 
charakter. Ferner hat, in bezug auf eine solche Primzahl als Modul, 
die Congruenz 
(39) =°’= : (mod p), 
unter & eine der Einheiten +1, +0, + e,(e= it l28, verstanden, a: 
nur dann eine Lösung, wenn a 
in — gE+DER+D _ | (iod p) 
ist. Falls nun %-+-1 nicht durch drei teilbar ist, falls also k eine 
der beiden Formen 3% und 3% -+-1 besitzt, ist die vorstehende Con- 
gruenz nur für e=-+1 erfüllt. Es gilt also der folgende nachher 
zu verwendende Hülfssatz: Wenn die Primzahl p von einer der beiden 
Formen 9h-+2 und 9h-++5 ist, so kann die Congruenz (39) für 
eine ganze Zahl x des Körpers nicht anders bestehen, als wenn die 
Einheit = einen der Werte +1 und — 1 besitzt. 
‘) Pepin, Journal de mathematiques pures et appliquees, Serie 2, t. 15, P- all 
(1870). Lucas, Nouvelles Annales, Serie .biD 507 11878), t. 19, p. 206 (1880). : 
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