Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 219 
Ich betrachte nun im Körper der dritten Einheitswurzeln die 
Gleichung 
(40) et y-+Eaz=0. 
Darin soll 4>2 sein und eine reelle Primzahl von einer der 
beiden Formen 9h-+-2 und 9h 5, oder das Quadrat einer solchen 
Primzahl, ferner & eine Einheit des Körpers bedeuten. Als Unbekannte 
werden die drei Zahlen x, y, z (ganze Zahlen des Körpers) und die 
Einheit & betrachtet. Einer jeden Lösung der Gleichung ordne ich 
die Norm N (xyz) des Produktes xyz zu. Diese Norm ist eine nicht 
negative ganze Zahl und soll die „Höhe“ der betreffenden Lösung 
heissen. Angenommen, es existieren Lösungen von nicht verschwin- 
dender Höhe. Dann sei (x, y, 2, &) diejenige oder eine derjenigen unter 
ihnen von möglichst kleiner Höhe. Bezeichnet man nun die Zahlen 
+ y, 02 Hey, 0° +0Y 
in irgend einer Reihenfolge mit «, ß, y, so ist 
(41) a+ß+Y7=0, afy+esa=t, 
und weiter, wenn ö den grössten gemeinsamen Teiler von «, ß, y 
bezeichnet, 
a a tee 2 a 
(42) ST BET Tr ca(,)- 
Die Faktoren der linken Seite sind hier zu je zweien teilerfremd; 
denn da ihre Summe verschwindet, würde ein in zweien aufgehender 
Primfaktor auch im dritten aufgehen. Hieraus folgt, dass die Prim- 
faktoren der rechten Seite sich auf die einzelnen Faktoren der linken 
Seite verteilen und also ö 
(43) 
Y WE 
u u Bel ae 
& 
5 
gesetzt werden kann, wobei €, e,® Einheiten bedeuten. Wegen 
@e-+-ß2-+-y=0 ergibt sich 
(44) RZ +n +3,42) = 0, 
unter n und g, wieder Einheiten verstanden. Nach dem obigen Hülfs- 
satz ist notwendig 7„— +1, so dass (21, #41 ?u &) eine Lösung 
von (40) vorstellt, deren Höhe N (ya) =N (5) ist. Da diese Höhe 
mindestens den Wert N(xyz) erreichen muss, folgt 
(45) N (4) > N(eya), 12 Neyd) 
