2320 A. Hurwitz. 
was nur sein kann, wenn x, y, ö Einheiten sind. Es würde also 
=+1, „"=-+1 und folglich, da in (40) a>2 vorausgesetzt 
wurde, z= (0) sein müssen, was der Ungleichung N(xyz)> 0 wider- 
spricht. Demnach kann es keine Lösung der Gleichung (40) von 
nicht verschwindender Höhe geben. Ist aber die Höhe Null, so ist 
notwendig z= 0, 2=—.y?, und es sind also = — 1, y=1,0, o%, 
z2=(,: eine beliebige Einheit, die einzigen Lösungen, welche die 
Gleichung (40) zulässt. Insbesondere gilt also der 
Satz 6. Im Körper der rationalen Zahlen besitzt dieCurve 
(46) +yP+a’=0 
nur den einen rationalen Punkt <=1,y=—1, z=0. Dabei 
bedeutet «a>2 eine Primzahl von der Form 9h-+2 oder 9h-+5 
oder das Quadrat einer solchen Primzahl. 
6. 
Im Falle a=2 ist die vorstehende Betrachtung ein wenig zu 
modifizieren. Offenbar gibt es jetzt die Lösungen ®=1, YP-1, 
®=1,2=—1, welche sämtliche Lösungen von der Höhe 1 um- 
fassen. Man betrachte also zunächst nur die Lösungen, deren Höhe 
N(zyz)>1 ist. Bedeutet, unter der Voraussetzung, dass solche 
existieren, &, %, 2, & eine unter ihnen von minimaler Höhe, so ergibt 
die aus ihr abgeleitete Lösung x, + y,, 2, & entweder wieder die 
Bedingung (45), oder es muss die Höhe N (x, 9,2.) gleich 1 sein. 
Die weitere Diskussion führt dann zu dem Resultat, dass die Gleichung 
3 + pP+ 22-0 
im Körper der dritten Einheitswurzeln keine anderen Lösungen zu- 
lässt als die durch 
=1l „"P=-—1, z=0 oder e=1 Yyalfderıs-—l 
charakterisierten. Insbesondere folgt ei) 
Satz 7. Die Curve dritter Ordnung 
(47) e+pP+22— 0 
besitzt im Körper der rationalen Zahlen nur zwei rationale 
Punkte 
.=1l, y-—1l, z=e0 m eo=y=1, z=-—1. 
’) Vgl. Legendre, Theorie des nombres, t. II, No. 333, 
