Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 221 
Der eine dieser beiden Punkte ist Wendepunkt der Curve, während 
der andere diesen Wendepunkt zum Tangentialpunkt hat. 
7. 
Ich wende mich nun zu dem Falle von genau drei rationalen 
Punkten. Nach Satz 2 müssen diese entweder die vollständige Gruppe 
w 2w 
(48) 0, BR 
# oder die vollständige Gruppe 
0... 
0:9 
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“ des 
bilden. Geometrisch bedeutet dieses, dass sie entweder mit drei in 
einer Geraden liegenden Wendepunkten zusammenfallen oder ein 
Dreieck ABC bilden müssen von der Eigenschaft, dass jede Ecke 
 Tangentialpunkt der folgenden, also A von B, B von C und C von A ist. 
Satz 8. Im Körper der rationalen Zahlen wird der erste 
Fall realisiert durch die Fermat’sche Gleichung 
N (50) ae u a 
: der zweite Fall durch die Gleichung 
(51) eytyrzr+ tr =0. 
2 In der Tat besitzt bekanntlich die Gleichung (50) nur die Lösungen 
(2) = (01,0, 1,0, -1), (1, —1,0), 
die Gleichung (51) aber!) nur die Lösungen 
. (x, 9,2) = (1, 0,0), (0, 1,0), (0,0, 1). 
Betrachtet man allgemein in irgend einem Zahlkörper eine Curve 
dritter Ordnung, auf welcher drei Punkte (48) rational sind, so lässt 
sich ihre Gleichung auf eine einfache Form bringen. ‚Sind nämlich 
(52) 0, me), 5-0, = 0 
die offenbar rationalen Gleichungen der die Punkte (48) tragenden 
| Wendegeraden bezw. der in ihnen berührenden Wendetangenten, so 
kann die Gleichung der Curve 
ER Xg Xz = 2? 
1) Siehe meine Note: Über die diophantische Gleichung #y + yr +2 =0, 
_ Math. Annalen Bd. 65, $. 428. 
