299 A. Hurwitz. 
geschrieben werden, wobei zwischen &,, &5, &;, 2 eine lineare homogene 
Relation mit Coefficienten, die dem Zahlkörper angehören, besteht. 
Gehen die drei Wendetangenten durch einen Punkt, so sind &,, &, 2; 
voneinander abhängig, sonst nicht. Je nachdem der eine oder der 
andere Fall vorliegt, kann man durch zweckmässige Wahl des Coor- 
dinatensystems die Gleichung der Curve auf eine der Formen 
(53) a?=xy(c-+Y) 
(53°) a(c-+y-+ 2) = bxryz 
bringen, unter « und b von Null verschiedene ganze Zahlen des 
Körpers verstanden. Der Fall a=1 der Gleichung (53) führt, wie 
leicht zu sehen, im Körper der rationalen Zahlen auf die Fermat’sche 
Gleichung zurück. 
Es sei jetzt vorausgesetzt, dass eine Curve dritter Ordnung in 
irgend einem Zahlkörper drei rationale Punkte (49) trägt. Dann 
wird ihre Gleichung bezogen auf das Dreieck ABC als Coordinaten- 
dreieck lauten: 
(54) ary+by2+c2c+ dry —=(, 
wo a, b, c, 0 ganze Zahlen des Körpers bezeichnen. Es ist sehr be- 
' merkenswert, dass sich dieser Fall durch birationale Transformation‘) 
auf den, wo drei in gerader Linie liegende Wendepunkte rational 
sind, zurückführen lässt. Setzt man nämlich 
(55) | ; 4: Se Durarrzy, 
Kiy:z=ay:zızy, 
so geht (54) über in 
be? + a y (ax + ey +02) = 0, 
- ae die auf eine der beiden Formen (53) und (53°) zurück- 
sommt, 
8. 
Nach Satz 2 bietet eine vollständige Gruppe von vier Punkten 
zwei Möglichkeiten. Die Parameter einer solchen Gruppe lauten 
nämlich entweder 
bi w ww ww 
“ Ein näheres Eingehen auf die birationalen Transformationen, die natur- 
gemäss in der Theorie der diophantischen Gleichungen höheren Geschlechts eine 
wichtige Rolle spielen, muss ich mir hier versagen. Man vergleiche übrigens die 
oben zitierte Abhandlung von Poincare. : 
