Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 223 
oder aber 
ww wH+w 
ee VE 
Die Punkte (56), die ich der Reihe nach mit P,, P}, Pa, P, bezeichnen 
will, haben folgende Constellation: P, ist Wendepunkt, P, hat P, zum 
Tangentialpunkt, P, und P, liegen mit F, in einer Geraden und haben 
P, als gemeinsamen Tangentialpunkt. Ich betrachte nun folgende 
Geraden, die sämtlich rationale Gleichungen besitzen, wenn — wie 
ich jetzt voraussetzen will — die Punkte (56) rational sind: 
y=0, die Gerade PP, P;, 
z=0, die Gerade P, RP, PR; 
w=(, die Gerade A PR Pu 
x = 0, die Gerade u 4,0 
t= 0, die Gerade P, P; P,, 
Jede Gerade ist hier durch ihre drei Schnittpunkte mit der Curve 
charakterisiert. Die neun Schnittpunkte der Geraden w=0, 2 =, 
f. t— 0 mit der Curve werden auch durch z— 0 und die doppelt gedachte 
Gerade y— 0 ausgeschnitten. Daher hat die Gleichung der Curve 
die Form | 
(58) yz-+ eawaıt=(, 
unter « eine rationale Zahl des Körpers verstanden. Die Geraden 
2 —=0, y= 0, 2— 0 bilden das Dreieck PP, P,, welches als Coordinaten- 
dreieck gewählt werde. Dann kann 
v=y+ßa, t=277Y2 
genommen werden, wo wieder ß und y rationale Zahlen des Körpers 
bezeichnen, die, ebenso wie «, von Null verschieden sind. Indem man 
 Yx statt © und ßy statt y schreibt, erhält (58) die Gestalt 
(59)  ayz+x(2-+2)(y-+z)= 0, (a rationale Zahl des Körpers). 
Umgekehrt stellt (59) für jede Wahl der von Null verschiedenen 
Zahl a eine Curve der betrachteten Art dar. Man hat also den 
Satz 9. Die allgemeinste Curve dritter Ordnung mit 
vier rationalen Punkten (56) wird durch die Gleichung 
(60) © (2 + 2) y+z2)+tayz=0 
dargestellt, wo a eine von Null verschiedene Za 
 grunde gelegten Zahlkörpers bedeutet. 
Wann wird die Curve (60) ausser den Punkten (66), | 
offenbar entweder y=0 oder z=0 oder y+2= wird, keinen 
weiteren rationalen Punkt tragen? 
hl des zu- 
für welche 
