994 A. Hurwitz. 
Hierfür ist notwendig und hinreichend, dass die nach x genommene i R 
Diskriminante der Gleichung (60), d.h. 
(61) A=2(y—2)(2(y-+ 2) — 4ay?) 
nur für yz(y-H+2z) = 0 das Quadrat einer rationalen Zahl der Körpers, “ 
wird. Durch die Substitution 
z=u—v, yY- 
wird 
(62) 4 = (u — v2) (u? — (1 + 16a) v), 
und es gilt also der 
Satz 10. Die Curve (60) wird dann und nur dann ausser 
den vier Punkten (56) keinen weiteren rationalen Punkt 
tragen, wenn die rationale Zahl a des Körpers der Bedin- 
gung genügt, dass | 
Y (wW— v2) (u? — (1-+ 16a) v?) 
für zwei rationale Zahlen u, v stets irrational ist, ausser 
fürv=0 und für u=-+v. Im Körper der rationalen Zahlen tritt 
dies zum Beispiel ein, wenn a= — — g genommen wird, da. dann die 
Quadratwurzel gleich Y u — v* wird. n 
Ich wende mich nun zur Betrachtung derjenigen Curven, die | 
vier rationale Punkte der Constellation (57) tragen. Seien P4P,PaP 
diese vier Punkte. Dann ist P, Wendepunkt und P,, P,, P, sind die 
Punkte, deren. runs mit .P, zusammenfallen. Wenn 
also der Reihe nach 
=0,y=0,2=-I0,t1=0, N 3 © 
die Gleichungen der Geraden 
ER Bahn RAR, Kalkar P,PBP; 
sind, so wird 
vr=zti 
die Gleichung der Curve. Die Geraden t— 0 und w— 0 gehen dureh 
den Schnittpunkt von @=0 und z=0. Bei passender Bestimmung 
der constanten Faktoren, die in den Linearformen z, y, 2, t, w will- . 
kürlich bleiben, wird ARueR: 
!) Das Beispiel der Curve a — — 2 rührt von B. Levi her. Siehe l. c. Notall, 
p-. 13. Ein anderes Beispiel liefert die RER = 4, Doch ist mein Beweis 
ie nr (u? — v2) (u? + 30°) für zwei ganze rationale Zahlen u, v niemals ein 
at wird, ausser für v=0 oder uv= +», ziemlich umständlich. 
