Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 225 
t=c-+a2, w=x+ ba. 
So findet man als 
Satz 11. Die allgemeinste Curve dritter Ordnung mit 
vier rationalen Punkten (57) wird durch die Gleichung 
(63) y’z=2(2 + az) (x + bz) 
dargestellt, wo a und 5b von Null verschiedene Zahlen des 
zugrunde gelegten Zahlkörpers bedeuten. 
Man erkennt leicht, dass man diesen Satz ergänzen kann durch 
Satz 12. Soll die Curve (63) ausser den vier Punkten (57) 
keinen weiteren rationalen Punkt tragen, so haben die 
Zahlen « und b der Bedingung zu genügen, dass 
V (x + a) (@-+b) 
für keine rationale Zahl x des Körpers rational wird ausser 
für 2=0, —a, —b. Im Körper der rationalen Zahlen ist diese 
Bedingung zum Beispiel für a=1,b=—1 erfüllt.‘) Denn Y x (2° —1) 
ist für keinen rationalen Wert von x, ausser für <=0, 1, —1 
rational, wie das wieder aus dem Fermat’schen Satze leicht folgt, 
nach welchem u* — »* niemals ein Quadrat wird ausser für v= 0 
undvu=+tv. 
2. 
Es mögen hier zum Schluss noch einige Sätze über solche Curven 
dritter Ordnung Platz finden, die unendlich viele rationale Punkte 
tragen. Dabei will ich der Kürze halber nur den Fall betrachten, wo 
die Curve reell ist. Die Curve besteht dann aus einem oder aus 
zwei Zügen. In meiner oben zitierten Arbeit über die Schröter’sche 
Konstruktion der Curven dritter Ordnung habe ich nun bewiesen, 
dass die Punkte (83k+1)u (k=0, +1, +£2....), wenn u kein 
Periodenteil ist, den unpaaren Zug stets überall dicht überdecken 
‚und dass der eventuell vorhandene paare Zug entweder gar keinen 
dieser Punkte trägt, oder aber ebenfalls von jenen Punkten überall 
dicht erfüllt ist. Hieraus folgt der bemerkenswerte 
: Satz 13. Trägt eine reelle Curve dritter Ordnung unend- 
5 lich viele rationale Punkte, so überdecken diese den un- 
Paaren Zug der Curve stets überall dicht, während der 
_ eventuell vorhandene paare Zug entweder ebenfalls von 
_ jenen Punkten überall dicht überdeckt ist oder gar keinen 
' Punkt trägt.?) 
!) Auch dieses Beispiel findet sich bei B. Levi, Nota II, p. 22. 
2) Ohne Beweis auch von Poincar& angegeben, 1. c. p. 173. 
Vierteljahrsschrift d. Naturf, Ges. Zürich. Jahrg. 62. 1917. 15 
