296 - A. Hurwitz. 
Es erhebt sich hier die Frage, ob die in dem Satze charakteri- 
sierten Fälle tatsächlich vorkommen. Hierüber gibt im Körper der 
rationalen Zahlen der folgende Satz bis zu einem gewissen Punkte 
Aufschluss: 
Satz 14. Die Curve 
(64) ax? + by’—+ c2?+ dayz = 0 
trägt entweder keinen oder unendlich viele rationale Punkte. 
Dabei bezeichnen a, b, ec, d ganze rationale Zahlen, welche 
den folgenden Bedingungen genügen: die Zahlen a, b, e sind 
von Null verschieden und zu je zweien teilerfremd, keine 
derselben ist durch das Quadrat einer Primzahl teilbar und 
höchstens eine unter ihnen ist eine Einheit, d.h. gleich #1. 
Bezeichnen x, y, z die Coordinaten eines rationalen Punktes der 
Curve, so dürfen und sollen x, y, z als ganze Zahlen ohne einen 
allen gemeinsamen Teiler vorausgesetzt werden. Es sind dann auch 
x, y, 2 zu je zweien teilerfremd. Denn hätten zum Beispiel = und y 
den gemeinsamen Primfaktor p, so ginge p° in cz? und folglich p 
auch in z auf. Ferner sind x, y, z von Null verschieden. Denn 
nach den über a, b, ce gemachten Voraussetzungen sind diejenigen 
Punkte der Curve, für welche eine der Coordinaten verschwindet 
(die Wendepunkte) sicher irrational. Angenommen nun die Curve 
(64) trage rationale Punkte und zwar in endlicher Anzahl. Als 
Höhe des einzelnen Punktes x, y, z bezeichne ich wieder den Wert 
von |xyz|, welcher nach dem Vorausgeschickten stets eine positive 
ganze Zahl ist. Ich betrachte nun denjenigen oder einen derjenigen 
Punkte, für welche die Höhe einen möglichst grossen Wert besitzt. 
Ist (=, y, 2) dieser Punkt und (x y 2) sein Tangentialpunkt, so ist 
dann sicher 
(65) 
Nun hat man weiter!) 
Is|eyel. 
(66) wiy2=albyP— cr): y(e2?’— aa?):2 (ax?— by?) 
und also, wenn ö den grössten gemeinsamen Teiler der drei (sämt- 
lich von Null verschiedenen) Zahlen rechter Hand bezeichnet, 
wi : ee 1 
M zarte), y-zylerar),z za. 
Es ist aber ö zu x, y, z teilerfremd. Hätte nämlich ö zum Beispiel 
a Vgl. z, B. Desboves, Resolution, en nombres entiers et sous la forme 14 
plus bakkralg, de l’equation cubique, homogene A trois ineonnues. Nouvelles ABM 
TR serie, t. V, p. 545579 hs 886). 
