Über ternäre diophantische Gleiehungen dritten Grades. 2237 
mit x einen gemeinsamen Primfaktor, so würde dieser, da er weder 
in y noch in 2, wohl aber in den Zählern von y' und z' aufgeht, 
Teiler von e und b sein, während ce und b nach Voraussetzung teiler- 
fremd sind. Hieraus folgt nun, dass 
2 1 1 1 
(8) =; (by — er), = 5 (ee’—ar°), &= z (aa — by?) 
ganze Zahlen sind. Trägt man die Werte von x, y, 2’ aus (67) in 
(65) ein, so ergibt sich 
Ienti<i, 
also zeige ri tert 
Dies ist aber unverträglich mit der Tatsache, dass &+n + =0 
ist. Demnach ist es unmöglich, dass die betrachtete Curve rationale 
% Punkte in endlicher Anzahl trägt, w. z. b. w. 
| Beispielsweise hat die diophantische Gleichung 
| | 2° + 2 +32 — 0 
unendlich viele Lösungen, da sie die eine Lösung =y=1, 
2—= —1 besitzt. 
Ich betrachte jetzt die Curve (64) unter der Annahme, dass 
zwei der Zahlen a, b, c, etwa a und b, gleich 1, die dritte c aber 
von +1 verschieden und nicht durch das Quadrat einer Primzahl 
teilbar sei. Die Curve, deren Gleichung jetzt 
2... (69) ty tee +daye = 
lautet, trägt offenbar den rationalen Punkt 
00) zel,y=-l,2=Vt. 
Dieser ist ein Wendepunkt und der einzige rationale Punkt yon der 
Höhe |xyz|= 0. Angenommen, es gäbe ausserdem noch weitere 
rationale Punkte, aber nur in endlicher Anzahl. Dann sei (x, y, 2) 
einer unter ihnen von maximaler Höhe. Sein Tangentialpunkt 
wir y: = a (yP— ca?) :y (ee? — a*) :2 (ae — y°) 
muss dann die Höhe Null haben, also mit (70) zusammenfallen, da 
die gegenteilige Annahme, wie oben, auf einen Widerspruch führt. 
Somit ist notwendig 2 — 0, d.h. 
‚und, wegen (69), 
2 te + I2=(. 
