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PER | A. Hurwitz. 
Daher muss z als Divisor von 2 einen der Werte +1, +2 besitzen 
und zugleich, je nachdem, 
(71) 2+(+09)=0, 1+(4k+9)=0 
sein. Die einzigen Fälle, in denen die Curve (69) mehr als einen 
rationalen Punkt, jedoch nur endlich viele im ganzen, tragen kann, 
sind also die folgenden vier: 
Een 3 2) 2y2 = (0, 
(72) 3 1: SG 3 ERE 
ty re —Me+i)eyze0, 
‚ wobei die Punkte e=1,y=1,z2=+1 und@=e=1,y=1, z=42 
bezüglich auf den Curven von maximaler Höhe sind. Können dann noch 
weitere solche Punkte vorhanden sein? Dies ist leicht festzustellen, 
a man von vornherein weiss, dass die Höhe eines solchen Punktes 
nur 1 bezw. 2 sein kann. Die Diskussion ergibt sofort, dass in 
keinem Falle ein solcher Punkt existiert. Daher gilt der 
Satz 15. Die Curve 
(73) "+YyP+c2+ day = 0 
trägt entweder einen, oder zwei, oder unendlich viele ratio- 
nale Punkte. Dabei bezeichnen c und d zwei ganze rabio- 
nale Zahlen, von denen die erstere nicht durch das Quadrat 
einer. Primzahl teilbar und von +1 verschieden ist. Der 
mittlere Fall, in welchem die Curve genau zwei rationale Punkte 
trägt, kann nur eintreten, wenn die Gleichung (73) eine der vier 
Formen (72) besitzt. 
Endlich betrachte ich die Curve 
(74) + pP+etdey—0, 
welche die drei rationalen Punkte (1, — 1, 0), (1, 0, — 1), (0, 1,—1) 
trägt. Die ganze Zahl 0 soll nur der Einschränkung unterliegen, 
dass die Curve (74) vom Geschlecht 1 ist, d. h. es soll d von — 3 
verschieden sein. Die analogen Betrachtungen wie in den vorher- 
gehenden Fällen lehren nun: soll die Curve (74) ausser den drei 
genannten noch weitere rationale Punkte, im ganzen aber endlich 
viele solche Punkte tragen, so muss der Tangentialpunkt ' 
ey: 2=ay— 2): y(e?— a?) :2 (2° — y?) 
des rationalen Punktes (x, y, z) mit einem jener drei Punkte zusammen- 
fallen, falls (=, y, z) von maximaler Höhe ist. Es müssen für diesen 
unkt demnach zwei der drei Coordinaten einander gleich, zum 
Et 
REN 
