Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 229 
Beispiel = y=1 sein. Für die dritte Coordinate z folgt dann 
aus (74) 
2+2°+d9=N, 
also z2= +1 oder +2 und 2+(14+0)=0 oder 1+(4+09)=. 
Dad = — 3 ausgeschlossen bleibt, sind 
o=1lundd=—5 
die einzigen in Betracht kommenden Werte von 0. Es gilt also der 
Satz 16. Bezeichnet d eine von 1, —3und —5 verschiedene 
ganze Zahl, so trägt die Curve 
+ y rer daeyz— 0 
drei rationale Punkte oder deren unendlich viele. 
Was die den Annahmen d=1 und d=—5 entsprechenden 
. speziellen Curven 
er + +axy2—(, 
+ yP+z—dryr—0 
betrifft, so trägt jede von ihnen sechs sofort angebbare rationale 
Punkte. Würden auf einer dieser Curven noch weitere rationale 
Punkte liegen, so müssten sogleich unendlich viele auf ihr vorhanden 
sein. Es ist mir aber nicht gelungen festzustellen, ob jene sechs 
Punkte die einzigen rationalen Punkte sind oder nicht. — 
Betrachtet man die Gesamtheit aller rationalen Punkte auf einer 
Curve dritter Ordnung, so liegt es nahe, nach „fundamentalen“ unter 
ihnen zu fragen, d. h. nach solchen, aus denen alle übrigen durch 
- die wiederholte Anwendung der fundamentalen Konstruktion abgeleitet 
werden können. Dass man endlich viele „fundamentale“ angeben 
kann, wenn es überhaupt nur endlich viele rationale Punkte auf der 
. Curve gibt, ist selbstverständlich. Wenn aber die Anzahl der ratio- 
nalen Punkte auf der Curve unendlich ist, so spricht a priori nichts 
dafür, dass auch dann immer endlich viele fundamentale Punkte vor- 
handen sind. Bis also dieses nicht bewiesen ist, sind die auf diese 
Annahme gegründeten Bemerkungen von Poincare in seiner mehrfach 
zitierten Arbeit entsprechend zu modifizieren. 
