248 Paul Niggli. 
1. Tabelle der Zähligkeiten von Punktlagen in den kubischen Raumgruppen. 
Zähligkeiten von Punkten im Zähligkeiten von Punkten im 
Elementarwürfel Elementarwürfel 
Bl oe u Fe sus 
3 & Freiheits- | Freiheits- | 52 |&# | 3 5| Freiheits- | Freiheits- | 213 
E&| grad grad |u2 mS|M&| grad grad |2|mS 
z! 1,8 4,6 — | 12 | Za® | 12 | 16, 24 — | 48 
z@|4 16, 4 sl lı5 |8832,1-.18 
* 2,6 8, 12 — 1410123, 46 8, 12 — | 4 e 
2 — 2? _ 1217 0° 14,8, 24 24,32,48 | — | % y 
z — 8:12 — | 94 || O* 18,16 32, 48 — | % 
ht, 3 6, 8 12 1 24 | 0° | 23,6,812 | 13,16,4 | — | 8 n 
213,64 |s1 19 er 14 er erh 
Tu? | 4, 8, 24 | 24,32,48 | 48 | 96 | O® | 8, 12 16, 24 — 1148 
2 820 32, 48 — | % | D!11,3 6,8, 12 | 24 | 48 
21868 IM 4 | 48 102 123,6,8,12 | 13,16,94| — | 8 
Zi 4 8 _ 4 1012,68 12,16,24 | 24 | 48 
Ons | 2,4,6,12 | 8, 12, 34 | 24 | 48 
ee 16, 24 — | 48 || ©1° | 4, 8, 24 | 24,32,48 | 96 | 192 
211,8 4,6, 12 12 | 24 || One | 8, 24 48, 64,96 | 96 | 12 
z2| 4 16, 24 48 | 96 || Du’ | 8, 16 32,48, 96 | 96 | 192 
Te |ı 2,612 | 8 12,24 | 24 | 48 || O1® | 16,32,48 | 64, 96 — | 19% 
2“ | 23,6 8, 12 — | 24 || O1 | 2,6,8,12 | 12,16,4,48| 48 | % 
Te’ | 8,24 32, 48 — 196 || Du!0| 16, 24 32, 48 —)% 
auch für andere Zwecke brauchbare Zusammenstellung der Zählig- 
keiten von Punktlagen in den verschiedenen kubischen Raumgruppe, 
in allen Fällen bezogen auf den Würfel, der dann noch flächenzentriert 
oder innenzentriert sein kann. Die Punktlagen sind getrennt nach 
ihren Freiheitsgraden (lit. 9). 1 Freiheitsgrad bedeutet beliebige 
Lage auf Drehungsaxen (bezw. Schnittlinie von Spiegelebenen), 2 Frei- 
heitsgrade zeigen Spiegelebenen an, Lagen ohne Freiheitsgrad sind 
Schnittpunkte von Drehungsaxen oder von Drehungsaxen mit Spiegel- 
ebenen, oder Inversions- und Drehspiegelzentren. Jede allgemeinste 
Lage besitzt 3 Freiheitsgrade. Die Wertigkeit einer Punktlage ist 
dem Quotienten aus der Zähligkeit der allgemeinen Lage, dividiert 
durch die Zähligkeit der speziellen Lage, gleich. Die Zahl für Punkte 
mit drei Freiheitsgraden gibt auch an, um welche von den drei 
möglichen Translationsgruppen es sich handelt. 
Für den speziellen Fall sind nur diejenigen Raumgruppen ZU 
diskutieren, die ein-, zwei- oder vierzählige Punktlagen besitzen. 
Die mit ein- oder zweizähliger Punktlage (ohne vierzählige) fallen 
