Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung. 297 
Daher definieren wir allgemeiner, wenn « eine beliebige reelle Zahl 
>0 ist, als die durch „«-malige Integration“ aus f entstehende Funktion 
= 5, Je" 0a 
Die Funktionaloperation .J* hat folgende Eigenschaften: 
I. Für« =1,2,3,... stimmt sie mit dem ursprünglichen Begriff 
der 1,2,3,...-maligen Integration überein. 
en II. Sie ist linear: 
Be: Ih +) ra 
e (f, fs beliebige stetige Funktionen; c,, c, beliebige Konstante). 
= II fie gt 
Die Beziehung 
13 pa) = J’f(«) 
drücken wir auch umgekehrt mit Benutzung des Differentiations- 
symbols D durch 
f(@) = Dp (x) 
aus und sagen, falls zu der gegebenen Funktion @ eine solche stetige 
Funktion f gehört, sie sei der «!® Differentialquotient von p, und 
Ri sei «-mal stetig differentiierbar. Es liegt nahe, mit Riemann zu 
setzen: J’f—= D’f=f und allgemein J * = D*, wodurch sowohl 
die Definition der Operation J* wie D” auf negative Exponenten « 
und 0 ausgedehnt wird. Es ist dann aber daran festzuhalten, dass 
der Prozess J“ mit negativem Exponenten nicht (wie der mit posi- 
Er tivem) auf jede stetige Funktion anwendbar ist. . 
= en Die Ermittlung von f—= D*p (in den Exponenten - Grenzen 
.0<e<01) durch Auflösung von (*) ist nichts anderes als ein be- 
kanntes von Abel behandeltes Problem!) — historisch das erste 
Beispiel einer Integralgleichung. Liouville hat ihre allgemeine Lösung 
gegeben.?) Sie besteht in unserer Terminologie einfach darin, einmal 
zu differentiieren und dann (1—«)-mal zurückzuintegrieren. Offenbar 
ist aber für die «-malige Differentiierbarkeit («<1) von p die Exi- 
stenz und Stetigkeit der Ableitung @’ wohl hinreichend, aber nicht 
notwendig. Vielmehr gilt in dieser Hinsicht der 
!) Abel, Ges. Werke (1823), p. 11. I 
Se 2) Journal de I’Eeole Polytechnique, Cahier 21 (1832), p- 1, und Lionvilles 
Journal, vol. 4 (1839), p- 23. 
