Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung. 299 
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Mittelwert [ fdz = 0 ist, so ist das Integral /, von / wiederum 
0 
periodisch. Damit aber auch f, ein periodisches Integral /, habe, 
müssen wir die in f, noch zur Verfügung stehende additive Kon- 
€ y 
stante so bestimmen, dass [| f,de—= 0 wird; usw. D. h. die oben 
zur eindeutigen Festlegung der Integrale f, benutzte Bestimmung: 
f„= 09 für = 0 wird jetzt zu ersetzen sein durch die Forderung 
1 
[ f,de = 0. In dieser Weise möge von nun ab J"f= f, definiert 
0 
sein. Führen wir die Bernoulli’schen Polynome v ein, die sich rekursiv 
eindeutig aus den Forderungen 
1 
v,=—1; RT [ v.de = 0 
0 
Mel 3,8,:%) 
ergeben und verstehen unter #, (x) diejenige Funktion mit der Periode, 
die im Interval0<x<1 gleich dem Polynom vu, (x) ist, so gilt nunmehr 
VI RIO 
% (x) tritt hier also an Stelle der oben analog verwendeten Funktion 
u Es ist derselbe Unterschied, der in der Taylor’schen Reihe 
N—1}: 
einerseits, der Euler’schen Summenformel anderseits zur Geltung 
kommt. Verstehen wir unter c, die komplexen Fourierkoeffizienten von / 
1 
„= f ee Flo)de v>1), 
0 
so sind die komplexen Fourierkoeffizienten von J e f gleich - die 
aıv 
von P, aber einfach = Be 
Es fragt sich nun wieder, ob wir unsern jetzigen Integralbegriff 
J”f von ganzzahligen Exponenten n in solcher Weise auf beliebige 
positive Exponenten ausdehnen können, dass die oben an die Opera- 
tion J* gestellten Forderungen I.—III. erfüllt sind. Man sieht, dass 
dieses ohne weiteres möglich ist: man hat unter J° f nur diejenige 
Funktion der Periode 1 zu verstehen, deren komplexe Fourierkoeffi- 
zienten > durch 
ats = 
we M=e,.e 7 (dur). >1) 
gegeben sind. Nur könnte es noch zweifelhaft erscheinen, ob eine 
