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linien halbiert und die vierte Tangente ist zufolge einer bekannten 3 
Parabeleigenschaft die Mittelsenkrechte zur Verbindungslinie des N. 
Brennpunktes mit dem Fusspunkt der Höhe, durch den beide Leit- 
linien gehen. 
In der Abb. 2 sieht man, dass die Schnittpunkte von g, mit K,, 
von 9, mit X, und von g, mit X, imaginär sind, was bewirkt, dass 
keines der Parabelpaare reell wird. Das muss so sein, wenn 
die drei Punkte A,B,C reell sind; denkt man sich nämlich um 
A,B zwei Kreise, die sich reell schneiden und daher zwei reelle 
gemeinsame Tangenten haben, so gibt es weder durch den einen 
noch durch den andern Schnittpunkt einen reellen dritten Kreis, der 
ebenfalls die zwei reellen gemeinsamen Tangenten berührt. 
Sind von den drei Punkten zwei konjugiert imaginär, z. B. A, B, 
so bleiben F, F',C’,O reell und es werden auch X, und 9, reell; 
die Mitte $ von AB liegt dann zwischen F\, F’. 
Abb. 3. In der Abbildung 3 ist der Umkreis des Dreieckes ABC 
als gegeben angenommen, C ist auf ihm gewählt und die imaginären 
Schnittpunkte des Kreises mit einer Geraden / als die Punkte A, B 
betrachtet. Der Punkt F’ ist der Schnittpunkt von / mit der Polaren 
von Fin bezug auf den Umkreis. $ is® der Fusspunkt des Lotes 
von O auf l. Die Parallele durch C’ zu CO ist g, und schneidet &, 
in X,X'. Die zu X oder X’ gehörigen Parabeln sind reell oder 
imaginär, je nachdem die Kreise, die C als Mittelpunkt haben und 
durch X oder X’ gehen, von F aus reelle oder imaginäre Tangenten 
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zulassen. In der Abbildung sind die zwei Parabeln, die zu Xge- 
hören, reell und eingezeichnet; sie schneiden sich auf CF und haben 
die Mittelsenkrechte von FX zur gemeinsamen Tangente. 
In dem Falle, wo die Mitte S von AB und also die Punkte A,B 
selber mit F’ zusammenfallen, wird 9, zur Tangente von K;; die a 
Geraden $N und SM werden nämlich unendlich benachbart und die = 
Fusspunkte der Lote von F auf die zwei Geraden werden zu un- 
endlich benachbarten Punkten von K, und somit ist ihre Verbindungs- 5, 
linie 9, Tangente von K,; die doppelt gelegte Gerade AC tritt als 
degenerierte Parabel auf. 
Bekanntlich halbieren die Höhen des Dreieckes ABC (Abb. 2) 
die Winkel seines Höhenfusspunktendreieckes DEF und die Punkte 
4, B,C sind die Mittelpunkte der drei Kreise, die dem Dreieck DEF \ 
anbeschrieben werden können; diese drei Kreise treten für alle drei 
Höhenfusspunkte als ein gemeinsames System solcher drei Kreise 
auf, welche gewisse durch die Höhenfusspunkte gehenden Geraden h 
nämlich die Seiten des Höhenfusspunktedreieckes berühren. | 
