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d'attaquer le problème de front, j'ai réussi à tourner la 

 difficulté à l'aide de quelques considérations géométri- 

 ques fort simples, qui m'ont conduit à la solution com- 

 plète. 



2. — Supposons le problème résolu, et soit (G) une 

 courbe plane polaire réciproque d'elle-même par rapport 

 à une série de coniques en nombre infini, se succédant 

 d'une manière continue. 



Considérons deux coniques de cette série, voisines l'une 

 de l'autre (K), (K'), et prenons un point quelconque 

 dans le plan. De ce point menons des tangentes à la 

 courbe (C) : soit A l'une de ces tangentes. Par hypo- 

 thèse, les pôles de ces tangentes par rapport à (Kj, et en 

 particulier le pôle a de A, sont situés sur la courbe (G), à 

 l'intersection de cette dernière avec la polaire D de par 

 rapport à (K). Soit 0' le pôle de D par rapport à la coni- 

 que (K) : de ce point menons des tangentes à (G) ; ces 

 tangentes sont les polaires relativement à (K') des points 

 d'intersection de (G) et de D. Désignons par A' celle de 

 ces tangentes qui est la polaire a. D'après une propriété 

 bien connue des sections coniques, il y a correspondance 

 anbarmonique entre A et a d'une part, entre a et A' de 

 l'autre ; par suite, les droites A et A' se correspondent 

 elles-mêmes anbarmoniquement. En d'autres termes, les 

 tangentes à la courbe (G) issues des points et 0' for- 

 ment deux faisceaux homograpliiques, et les points d'in- 

 tersection m des rayons homologues A et A' de ces deux 

 faisceaux sont situés sur une conique passant par les 

 points et 0'. Supposons maintenant que la conique (K') 

 soit infiniment voisine de (K) ; le point 0' va se rappro- 

 cher de jusqu'à se confondre avec lui, et le point m 

 d'intersection de A et de A' va venir coïncider avec le 

 point de contact de A avec (G). Mais à la limite le point m 

 et les points analogues sont encore situés sur une coni- 

 que passant par : d'où cette conclusion, que la courbe 

 [G) ^ pour être sa ^^ropre polaire réciproque par rapport à une 

 infinité de coniques, doit être telle que les points de contact de 

 ses tangentes issues d'un même point quelconque, soient 

 situés sur une même conique passant par ce point 0. 



3. — Ge nouveau caractère géométrique des courbes 



