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clicrchéos va nous suffire pour les déterminer complète- 

 ment. Nous n'avons pour cela qu'à nous appuyer sur un 

 l,liéorème que nous avons donné antérieurement (1), et 

 qui consiste en ce que si une courbe plane est telle que les 

 points de contact des tangentes à cette courbe issu es d'un point 

 quelconque de son plan sont situés sur une courbe de degré 

 (M -{. V, ayant un point multiple d'ordre [J. en 0, cette courbe 

 fait nécessairement partie d'un système à caractéristiques [i . 

 et V. 



De ce théorème et de la propriété de la courbe (C) ci- 

 dessus énoncée, nous sommes en droit de conclure que 

 cette dernière courbe doit faire partie d'un système ayant 

 pour caractéristiques ^ = 1, v =i 1. Or le système (f^ = 1, 

 V = 1) le plus général est défini par l'équation différen- 

 tielle 



L (xdy — ydx) — Mdy + ^dn = o 



dans 1? quelle L, M et N désignent des fonctions linéaires 

 quelconques de oc et y (2) ; et cette équation, qui n'est 

 autre que l'équation de Jacobi, conduit à une intégrale 

 de la forme (1) 



u, V, w désignant trois fonctions linéaires de x et y, G une 

 constante arbitraire, a, |3, 7, trois nombres réels ou ima- 

 ginaires liés par la relation a 4- (5 -^ 7 = o. 



Nous arrivons donc à ce résultat que s'il existe des 

 courbes planes qui soient leur propre polaire réciproque par 

 rapjwrt à une infinité de coniques, ces courbes ont nécessaire- 

 ment une équation différentielle de la forme (i), ou une équa- 

 tion en termes finis de la forme (2). Il ne saurait y en avoir 

 d'autres. Nous avons d'ailleurs établi précédemment (2) 



(l) Bulbtin de la SociétJ mathi'matique. t. II, p. 96 (année 1874). 

 [Sur les courbes planes transcendantes, swiceplibles de faire partie d'un 

 système (,'''•, v). 

 f2) Comptes-rcnrim. t. I.XXVIII. [i. l(i;):i. 



