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tance du ce point au jxnnt iVapplicatùni, et en raison inversa 

 de la puissance -|- d'un polynôme P homogène et du second 

 degré par rapport aux coordonnées du point d'application. 

 Sous l'action de cette force, tout point matériel décrit U7ie 

 conique doublement tangente au cône P=o. 



La loi de Newton répond au cas 'P = x'^ -{- y^ -\- z^ . 



Deuxième SOLUTION. Soit une force passant par un point 

 fixe, proportionnelle à la distance de ce point fixe au point 

 d'application, et en raison inverse du cube de la distance de 

 ce dernier à un plan fixe. Sous l'action de cette force, tout 

 point matériel décrit une conique, par rapport à laquelle la 

 polaire du point fixe est dans le plan fixe. 



La loi de proportionnalité de la force à la distance répond 

 au, cas où le ptlan fixe est à l'infini. 



Pour rendre plus facile la solution du problème , 

 M. Bertrand avait tout d'abord montré que la force capa- 

 ble de faire décrire, dans tous les cas, à son point d'ap- 

 plication une section conique, est nécessairement une 

 force centrale. A cette proposition j'en ai substitué une 

 autre, plus générale, savoir : 



Théorème. Si une force, dépendant seulement de la position 

 de son point d'application, fait décrire à ce point, quelles que 

 soient les circonstances initiales, une trajectoire plane, cette 

 force passe par un point fixe ou est parallèle à une direction 

 fixe. 



Je n'en rapporte pas ici la démonstration que l'on trou- 

 vera dans les Comptes-rendus. Je me contente de faire 

 remarquer cette conséquence, qu'au point de vue où 

 s'est placé M. Bertrand, il suffît de savoir que les orbites 

 des planètes sont dans des plans passant par le soleil, 

 pour en conclure la loi des aires. 



On me permettra, en dernier lieu, d'appeler l'attention 

 sur ce fait curieux que les deux lois de la force, antérieu- 

 rement connues, suffisent à faire trouver les deux solu- 

 tions générales que j'ai énoncées plus haut. Pour le 

 montrer, je suppose une force agissant dans un plan et 

 passant par l'origine des coordonnées. Je désigne par U 

 le quotient de cette force par la distance de l'origine au 

 point d'application [x, y). L'intégrale des aires conduit à 

 cette équation différentielle de la trajectoire : 



