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(1) y<' = Q.\]{y-œyr. 



les dérivées étant prises par rapport à x. Si l'on fait la 

 substitution : 



(2) t/ = a X + & Y. 

 X = a'X ^ h'Y. 



la transformée de l'équation (1) entre X, Y ne diffère de 

 (1) que par le changement de la constante G. Donc : 



Si rf {ûG,y) est une force 'passant à V origine des coordonnées 

 et sous l'action de laquelle le point [oc, y) décrive une trajec- 

 toire F [oo,ij) =o; V équation F [a'œ -f- &'?/, cix -\- by) = o 

 appartient à la trajectoire d'un point sous l'action d'une force 

 rf[a'x-\- h'y^ ax -A- by). 



Appliquons ceci au mouvement des planètes. On sait 

 que, dans ce cas, la trajectoire a pour équation générale : 

 ^2 + 2/3 — («^ + /3?/ + 7)^ = 0/ 



3_ 



et que d'ailleurs U est [x^ -\- y^ ) '^- Par la substitution 

 (2), l'expression x^ + y^ se change en Ax^ 4 2 Bxy + Gy'^ , 

 et l'on est conduit à la première solution ci-dessus. 



En second lieu, si dans (1) on fait la substitution : 

 Y X 



^^^ ^ ""aX H- 6Y + c, "^ ^ «X + ÔY+T, 

 l'équation se change en celle-ci : 



(4) Y" = G U (Y— XY')3 {aX. + &Y -4- c) —3 , 

 les dérivées étant prises par rapport à X. Donc : 



Si rf[x ^y) est une force passant à l'origine des coordonnées 

 et sous l'action de laquelle le point [x^y) décrive une trajectoire 

 ^, , / X y \ 



F(^,2/) = ; l'équation F ( ^^ -|. 6y -f- c ax+by^c)='' 

 appartient à la trajectoire d'un point soumis à une force 



rf( — ^ — ; ^ ; — ^ X (ax + èw + c) ~~ 



\ax -^ by -\- c, ax -i- by -\- c^ 



En appliquant cette proposition au cas du mouvement 

 d'un point soumis à une force proportionnelle à la dis- 

 tance, on trouve la deuxième solution. 



M. Darboux présente quelques observations sur le 

 même sujet. 

 M. Glaisher est nommé membre correspondant. 



