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les sections planes sont imicursales. Tout d'abord s'offre 

 la classe des surfaces réglées unicursales. Steiner a si- 

 gnalé en dehors de cette classe la surface remarquable 

 du quatrième ordre, qui porte son nom. Je vais tâcher de 

 démontrer que ces surfaces sont les seules jouissant de 

 la propriété indiquée, en faisant toutefois une réserve, 

 comme on le verra, en finissant. 



J'énonce d'abord le théorème suivant dont la démons- 

 tration n'offre aucune difficulté : une surface dont toutes 

 les sections planes sont unicursales est elle-même uni- 

 cursale. 



Nous devons donc chercher dans la classe des surfaces 

 unicursales, les surfaces dont toutes les sections planes 

 sont unicursales. 



Si X, y, z, t sont les coordonnées d'un point de la sur- 

 face, nous avons pour une surface unicursale 

 œ-n (a, /3, 7) 

 y = h [y.. /3, y) 

 z = fz (a, /3, y) 

 t = A («, iS, y) 

 égalités où les f désignent des fonctions entières et homo- 

 gènes, de degré w, de a, |3, y. Considérons les courbes 

 planes réprésentées en coordonnées homogènes par les 

 équations 



/i(a,/3,7) = o,r2(«,(S,7) = o,/3(a.,/3,7) = o,A(«,/3,7) = o, 

 soient xx le nombre de leurs points simples communs, 

 oc=t le nombre de leurs points doubles communs, ..., a;k le 

 nombre de leurs points multiples d'ordre k communs. 

 Supposons de plus qu'en chacun de ces points aucune 

 tangente ne soit commune aux quatre courbes, et que 

 tous les points multiples soient des points multiples or- 

 dinaires. 



Le degré de N de la surface, et le genre D de toute sec- 

 tion plane, sont, comme on sait, donnés par les formules 

 N = »i2 — Xi — 4 572 — ... — k"2 iTk , 



(n-l)(n-2) „ h.{k-\) 

 D = ' '-^ — 072 — 3 a^s — ••• —^ ' ^k , 



Dans le problème qui nous occupe D = o, 

 on a alors, en retranchant membre à membre ces deux 

 relations : 



