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7H + 3 a?2 + ... + -^ '-a^k= V_^lU_(N-|-l), 



Cette dernière égalité nous montre que l'on peut con- 

 sidérer une famille de courbes d'ordre n, passant par les 

 points communs aux quatre courbes avec le même degré 

 de multiplicité, et contenant (N -\- 1) paramètres arbi- 

 traires. 



Ceci posé, considérons (N — 1) points (a, /Sj y.^ ) 

 (a„_i/3N_iyN-i) distincts entre eux, et différents des 

 points communs aux quatre courbes fi, /o, /a et fi. L'équa- 

 tion d'une courbe d'ordre n, de la famille dont nous ve- 

 nons de parler et passant par ces points, contiendra 

 encore deux paramètres arbitraires ; elle sera de la forme 



AU(«,/3,7)4-FV(a,/3,7)+''W(«,/S,7) = o,(l) 



Deux courbes de ce faisceau n'ont en dehors des points 

 bases du faisceau qu'un seul point de rencontre. Les trois 

 courbes 



U(«,/3,7) = o, V(«,/3,7) = o, W(a,/3,7)=o 



peuvent donc être prises pour base d'une transformation 

 de Cremona : 



X = U(a,^,7),Y = Y(a,/3,7),Z = W(a,/3,7). 



Je dis qu'en faisant cette transformation, les courbes 

 /î, f% h fit A se transformeront en courbes d'ordre N 

 ayant un point multiple commun d'ordre (N — 1). Toute- 

 fois si N = 4, cette conclusion ne sera pas nécessaire. 



Soient Ti (a, /3, y) ^ o, Ta {oc, (3, y) = o, Ts («, /S, 7) = o 

 les équations de trois courbes du faisceau (1) 



Ti {oc, /3, 7) = Xi U + ^i V + y, W, 

 T2 = X2 U -H P2 V + V3 W, 



T3=},3U-l-^3V-hv3W. 



Considérons la surface unicursale 



a.=Ti(a.p,7),2/ = T2K/3,7),^ = T3(«,/3,7),^=/i(«,3,7). 



Toutes les sections planes de cette surface sont évi- 

 demment unicursales. 



En faisant la transformation 



X = U {oc, (5, 7), Y = V («, (S, 7), Z = W (a, ,3, 7). 



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