'i\, Ts, Ta devierineut le produit d'un lacteur linéaire 

 ■/i X + //, Y + V, Z, }o X + y., Y + n Z, ..., 



l)ar les premiers membres des équations des courbes fon- 

 damentales de la représentation. 



Voyons ce que devient fi. A cette courbe correspond 

 une courbe d'ordre N. Nous pouvons négliger les courbes 

 fondamentales entrant dans la transformée de fi , car 

 elles entrent aussi dans les transformées de Tt, Ts et Ta. 



Soit donc Fi (X, Y, Z) la courbe d'ordre N à laquelle 

 correspond ft. 



Nous aurons ^ = Fi (X, Y, Z), 

 puis X = {h X + iJ-i Y + vi Z) 'f, (X, Y, Z) 



y = (À2 X + ^2 Y -f V2 Z) 9, (X, Y, Z) 

 z = (/3 X + F-3 Y + V3 Z) 9, (X, Y, Z) 



9i = 0, désignant le système de (N — 1) droites distinctes, 

 correspondant aux (N — 1) points simples fondamentaux 

 de la transformation, non situés sur /"i. 



Les quatre courbes formant les expressions de x, y, z, t 

 doivent avoir en commun un nombre de points multiples 



équivalant à -^ ' points doubles. Or ces points 



multiples ne peuvent être que les points de rencontre des 

 droits 9i ( X, Y, Z) = o, entre elles. La courbe Fi doit 

 donc avoir comme points multiples, avec le même degré 

 de multiplicité, les points de rencontre des droites 91 , 



dont le nombre équivaut précisément à^^ ;r^^^ 



points doubles. 



Si Fi a un point multiple d'ordre (N — 1) et que les 

 (N — 1) droites formant ©i passent par ce point, les 

 conditions précédentes seront remplies. Ce cas est le 

 seul qui puisse se présenter à moins que N = 4. On le 

 démontre bien aisément en faisant voir que l'une au 

 moins des droites rencontrerait, dans l'hypothèse con- 

 traire, la courbe Fi en plus de N points. Or on peut tou- 

 jours supposer qu'aucune des droites du faisceau fi n'ap- 

 partient à Ft. 



Il suit par conséquent de là que la transformation 

 indiquée transforme les courbes f], fi, /à et A en quatre 



