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courbes d'ordre N ayant un point multiple commun 

 d'ordre (N — 1) : conclusion qui n'est pas nécessaire si 

 N — 4. 



On voit maintenant de suite que la surface est réglée, 

 car on peut par une projection faire passer à l'infini le 

 point multiple d'ordre N — 1 . 



On a alors : 

 cc = kiY-\-Bi,y = k2Y+B.2,z ^As Y + Ji'^,t = Ai Y+Bj. 

 Dans le cas où N = 4, les trois droites 'f, peuvent for- 

 mer un triangle; on a alors la surface de Steiner. 



Nous avons fait au début certaines hypothèses : Les 

 quatre courbes considérées n'ont que des points mul- 

 tiples ordinaires, en chacun de ces points aucune tan- 

 gente n'est commune à ces quatre courbes. Maintenons 

 toujours la même hypothèse, mais supposons qu'en cer- 

 tains points communs, une ou plusieurs tangentes puis- 

 sent être communes. Si k est le degré de multiplicité d'un 

 pareil point, deux courbes du faisceau ont en ce point 

 plus de k^ points confondus, elles en auront k^ + yi, et en 

 posant s = J,Y] 

 on a 



N = «2 — xi — 4 .«2 — ... — k^ ani — £, 

 d'où l'on déduit 



N est, comme on le voit, simplement remplacé par 

 N -I- £, et l'on peut appliquer encore la démonstration 

 précédente. 



Il reste à considérer le cas où les quatre courbes au- 

 raient des points multiples singuliers communs, tels que 

 toute courbe du faisceau 



).i n 4- >.2 A 4- is h + Xi n = o 



ait aussi en ces points des points multiples singuliers. 

 Je ferai une réserve sur ce cas, me proposant d'y revenir 

 prochainement. Je dirai seulement que je pense pouvoir 

 lever la difficulté relative à ce dernier cas en m'appuyant 

 sur le théorème suivant dû à M. Nôther. Une courbe 

 étant donnée , possédant des points multiples quelcon- 

 ques, on peut toujours par une transformation de Cre- 



