U- 4- -Y U 



ék + TÙ ''''"'■ 



Je représenterai simplement un émanant de U par la no- 

 tation (U)i, l'indice i indiquant le degré de ce polynôme par 

 rapport aux variables B, et -q. 



Lorsque l'on identifie les variables ^ et vj aux variables x 

 et y, chaque émanant se réduit à la forme U. 



2. On sait que les émanants de U sont des covariants 

 doubles du système de formes donné, c'est-à-dire qu'ils se 

 transforment en, des polynômes composés d'une façon sem- 

 blable lorsqu'on assujettit les deux systèmes de variables a?, y 

 et ^, -q à des substitutions cogrédientes. 



Tout covariant double d'un système de formes se compose 

 d'émanants et du covariant (ccvj — j/^), que je représenterai 

 pour abréger par co. 



On a en effet la proposition suivante : Si H désigne un 

 covariant double quelconque du système de formes donné, 

 on peut mettre H sous la forme suivante, i désignant le de- 

 gré de ce polynôme par rapport aux variables Ç et yj , 



H = (A)i + o) (B)i_, +0)2 (C)i_2+... 



A, B, G, désignant des covariants du système de formes 

 donné. 



3. Cette proposition est très-utile dans une foule de calculs 

 algébriques. Je ne citerai ici que quelques exemples très- 

 simples, mais dont l'application est fréquente dans la théorie 

 des surfaces du troisième et du quatrième ordre, ainsi que 

 dans la théorie des courbes du quatrième ordre. 



Soit F, un polynôme duq uatrième degré; proposons-nous 

 de calculer l'expression 



_ „ , ^ ( dF {^,'fù , dF {^, •/])\2 ^ ^^ ^ 

 Q = F (a?, y) Ix —^^ ^ y " ^^) - F i^, ^) 



/ d F (^, ./) d F {X, y y 



Extrait de l'Institut, i''* section, 1872. 4 



