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Cette expression est ua covariant double de F, du degré 3 

 par rapport aux coefficients et du degré 6 par rapport aux 

 variables x et y, ainsi que par rapport aux variables ^ et 'q. 

 De plus, Q change de signe quand on échange entre elles 

 ces deux systèmes de variables; son développement ne doit 

 donc contenir que des puissances impaires de w, et l'on a 



Q = w (A)5H-o)MB)3+w5(C)i; 



A désigne un covariant de F du degré 10 par rapport aux 

 variables et du degré 3 par rapport aux coefficients; comme 

 un tel covariant ne peut exister, on a nécessairement 



A = 0; 



l'on a de même G = 0, car G ne pourrait être qu'un cova- 

 riant de F du degré 2. 



B est un covariant du degré 6 par rapport aux variables, 

 et de degré 3 par rapport aux coefficients ; ce ne peut être 

 que le covariant sextique de F ; en désignant par J ce cova- 

 riant, on a donC; à un facteur numérique près, la formule 



(^) ^=^d^^+^^ "^d^y-^^^"^ d^j^'^W 



4. Considérons encore la forme biquadratique F et son 

 hessien H ; posons 



Q = F (a?, y) H (^, r,) - F (l ri) H {x, y). 



Cette expression est un covariant double de F, du degré 4 

 par rapport aux variables Ç et -q, du degré 3 par rapport 

 aux coefficients; de plus, Q change de signe quand on 

 échange entre elles les variables, on peut donc poser 



Q = 0) (A)3 + 0)2 (B)i ; 



B, ne pouvant être qu'un covariant de F du degré 2, est 

 nul ; A, étant un covariant de cette forme du degré 6 par 

 rapport aux variables et du degré 3 par rapport aux coeffi- 

 cients, est le covariant sextique de J. 



