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On a donc, à un facteur numérique près, pour Q la même 

 expression que dans, le paragraphe précédent. 



o. J'appliquerai ce qui précède à une question relative aux 

 courbes de quatrième classe. On sait que l'on peut trouver 

 divers systèmes de coniques quadruplement tangentes à une 

 telle courbe. Étant donné l'un de ces systèmes, il lui cor- 

 respond dans le plan de la courbe une cubique K et une 

 conique G; toute droite du plan tangente à G a pour polaire, 

 relativement à K, une des coniques quadruplement tangen- 

 tes du système. 



J'ai démontré dans mon Mémoire de géométrie analytique 

 inséré dans le Journal de Liouville (janvier et février 1872) 

 la proposition suivante : 



« Etant données une courbe de la quatrième classe et une 

 » conique, on peut construire une courbe du Q""^ ordre, qui 

 » passe par les 28 points doubles de la courbe de quatrième 

 » classe et les 28 points de rencontre des 8 tangentes com- 

 » munes aux deux courbes, et qui de plus touche la courbe 

 » de quatrième classe aux points où elle est touchée par la 

 » conique. » 



J'ai fait voir, de plus, que si la conique était la polaire 

 d'une droite D quelconque du plan par rapport à K, la 

 courbe du neuvième ordre se décomposait 



1° En une cubique (de Steiner) passant par les 12 points 

 doubles du groupe ; cette cubique ne dépend pas de la 

 droite D; 



2° En une courbe du sixième ordre Q passant par les 16 

 points doubles qui n'appartiennent pas au groupe. 



J'ai donné (§ 52 de mon mémoire) l'équation de cette 

 courbe, mais sans la développer et sans mettre en évidence 

 la variable qu'elle renferme ; je veux revenir ici sur cette 

 question. 



6. En conservant les notations du mémoire déjà cité, 

 posons 



«0 Co — h^ = M, Co «0 + Ao Cfl — 2 Bq b^ = N, 



«0 ïo — W - M', Co «0 + Ao Yo — 2 Bo % = N', 

 «0 To -f Co ao — 2 6o Po + 4 (Ao Co — Bo^) = P , 



M; N, M', N' et P sont, on le voit, des invariants du système 

 de formes 



