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Si, laissant 6 invariaijle, on fait varier X et {/, on peut 

 déterminer facilement l'enveloppe de ces courbes. 



Désignons respectivement par S et T l'invariant quadra- 

 tique et l'invariant cubique de F ; on sait que les équations 



S = et T = 



représentent les courbes du 4°^ et du 6™® ordre qui se 

 croisent aux 24 points du rebroussement de la courbe de 

 4™® classe. 



Cela posé, l'enveloppe des courbes (H) s'obtient en éga- 

 lant à zéro le discriminant de l'équation (1) ; d'après une 

 formule de M. Cayley, l'équation de l'enveloppe sera donc 



(S3 — 27 T2) (Ô3 — e S — 2 T)2 = 0; 



elle se compose donc : 

 1° De la courbe de 4"^ classe elle-même, 

 2° D'une courbe de 6"»^ ordre dont l'équation est 



63 _ 6 S — 2 T = 0. 



Les courbes de Ç""® ordre contenues dans l'équation pré- 

 cédente se rattachent, on le voit, étroitement aux points de 

 rebroussement de la courbe fondamentale ; et il est remar- 

 quable qu'on y soit conduit par la considération de courbes 

 dont la définition est tirée de l'étude des points doubles. 



Je m'arrêterai ici dans cette étude, ayant voulu seulement 

 dans cette courte note indiquer la voie nouvelle où l'on 

 était conduit, pour l'étude des courbes de quatrième classe, 

 par la considération de la forme biquadratique F et de ses 

 divers covariants simples ou doubles. 



