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la surface, les sphères qui les déterminent ont leurs centres 

 sur une cubique gauche . qui contient aussi les centres des 

 cinq sphères Si associées aux cinq surfaces Pi dans le mode 

 de génération de M. Moutard. L'étude de cette cubique 

 gauche nous conduit naturellement à la proposition suivante, 

 dont la première partie est bien connue. 



Théorème III. — Si d'un point A on mène des normales 

 à une quadrique, les pieds des six normales sont sur une 

 cubique gauche passant par le point A et par les sommets 

 du tétraèdre conjugué à la surface et à toutes les quadriques 

 homofocales. 



Toute droite rencontrant en deux points cette cubique 

 gauche est normale à Tune des surfaces 



Cette cubique rencontre d'ailleurs chacune des quadriques 

 en six points pour lesquels les normales vont concourir en 

 un autre point de la cubique. 



Elle contient une infinité de systèmes de cinq points tels 

 que les cinq points puissent être les centres de cinq sphères 

 orthogonales 2 à 2. (Chacun d'eux est le point de rencontre 

 des hauteurs du tétraèdre formé par les quatre autres.) 



Enfin les plans tangents aux pieds de toutes les normales 

 qui rencontrent en deux points cette cubique enveloppent 

 une surface de Steiner. 



Le théorème I n'a pas des conséquences moins importan- 

 tes relatives aux normales. On en déduit la proposition sui- 

 vante, qui est fondamentale. 



Théorème IV. — Les normales en tous les points d'une 

 section sphérique de la cyclide forment une surface du 8*^ or- 

 dre. Cette surface est de la nature de celles que j'ai étudiées 

 dans un travail précédent. (Bulletin des sciences mathéma- 

 tiques. ) Les génératrices coupent les quatre faces d'un 

 tétraèdre en quatre points dont le rapport anharmonique est 

 constant. La surface des normales acquiert une conique 

 double toutes les fois que la sphère sur laquelle se trouvent 

 les pieds des normales est orthogonale à une des cinq sphères 

 principales Si. 



Ce théorème éclaircit la correspondance entre la cyclide C 

 et la surface H, lieu des points divisant homographiquement 

 toutes les normales. On voit que les droites, les coniques 

 des deux surfaces se correspondent point par point. Ainsi, 



