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indiqués plus haut donnent lieu à un rapport anharmoni- 

 que constant. Enfin, un point de la normale assujetti à for- 

 mer avec les cinq précédents une division homograpliique à 

 une division fixe, décrit, quand la normale se déplace, une 

 surface du second degré ayant mêmes plans de symétrie que 

 la première. Il existe pour les surfaces cyclides un théorème 

 tout semblable qu'on peut énoncer ainsi : 



Théorème I. — Soit une cyclide C et les cinq surfaces ho- 

 mofocales du second ordre Pi qui apparaissent dans le mode 

 de génération des cyclides dû à M. Moutard. Une normale à 

 la cyclide rencontre les surfaces du second degré en cinq 

 points formant une division homographique à une division 

 fixe (c'est-à-dire que le rapport anharmonique de quatre 

 quelconques de ces points est constant, et on peut ajouter 

 qu'il est égal à celui des quatre surfaces homofocales P 

 sur lesquelles ils se trouvent). De plus, le pied de la normale 

 sur la cyclide forme avec les cinq points précédents une di- 

 vision qui est homographique à une division fixe. Les points 

 correspondants de toutes les divisions ainsi déterminées sur 

 chaque normale décrivent des surfaces du quatrième ordre 

 à hgne double, cette ligne double n'étant plus d'ailleurs le 

 cercle de l'infini. 



Ce théorème paraît digne d'intérêt; car il contient toute 

 la théorie des normales, et sa dernière partie conduit à l'é- 

 tude d'une correspondance, point par point, entre une cyclide 

 et une surface du quatrième ordre H ayant pour ligne double 

 une conique quelconque qui peut se réduire à deux droites. 



Quand on étudie sur cette nouvelle surface H la conique 

 double et les points qui lui correspondent sur la cyclide C, 

 ou trouve qu'à un point de la conique double de H corres- 

 pondent deux points de C et l'ensemble de ces points consti- 

 tue uiie courbe qui est une conique sphérique. Ainsi : 



Théorème IL — Il y a sur toute cyclide une série de coni- 

 ques sphériques, et les normales à la surface en tous les points 

 de l'une de ces coniques forment une surface ayant pour 

 ligne double une conique. 



Ce théorème donne lieu à plusieurs remarques. On en dé- 

 duit d'abord que toute cyclide a 30 normales doubles. 



Mais on obtient des résultats plus importants en étudiant 

 la série des coniques. Il en passe 7 par chaque point de 



