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sente le cône supplémentaire du cône ayant pour sommet 

 le point M et circonscrit à S. 



2. Il est facile de passer de l'équation tangentielle d'une 

 surface à son équation mixte. De cette dernière équation, 

 on déduit immédiatement son équation en coordonnées 

 cartésiennes ; en effet, pour un point de la surface le cône 

 supplémentaire au cône circonscrit à la surface et dont 

 l'équation est 



(1) F = 



a une arête double ; ou, si l'on veut, la courbe K que 

 représente l'équation en coordonnées triangulaires a un 

 point double. On obtiendra donc l'équation de la surface 

 en coordonnées cartésiennes en égalant à zéro le discrimi- 

 nant de la forme ternaire F. 



Ceci se rapporte au cas général ; mais si la surface S 

 avait une ligne de contact multiple avec une développable, la 

 courbe K aurait constamment un certain nombre de points 

 doubles ; et l'équation cartésienne de la surface s'obtien- 

 drait en écrivant la condition nécessaire et suffisante pour 

 que R ait un point double de plus, c'est-à-dire en égalant 

 à zéro la fonction des coefficients que M. Cayley appelle le 

 discriminant spécial de la courbe. 



3. Je représenterai les surfaces que j'aurai à considérer 

 par leurs équations mixtes. Ces équations mixtes s'obtien- 

 nent en égalant à zéro des formes ternaires en ^, •/] et C ; les 

 coefficients de ces formes sont des fonctions de .ce, y, _z, 

 assujetties à satisfaire certaines conditions, dont il faudra 

 dans beaucoup de cas tenir compte. 



On peut toutefois les laisser souvent de côté en s'appuyant 

 sur la proposition suivante : 



Etant donné un nombre quelconque de surfaces dont 

 Içs équations mixtes soient 



F, = 0, F2 = 0, F3 = 0, 



si l'on désigne par 1 un invariant quelconque de ce sys- 

 tème de formes, l'équation 



1 = 



