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Sur les relations entre des groupes de points, de cercles, et 

 de sphères dans le plan et dans l'espace, par M. Darboux 



La théorie des tétraèdres et des groupes de points dans 

 l'espace doit à un très-grand nombre de géomètres des 

 formules importantes et qui ne sont pas assez connues. Plu- 

 sieurs relations élégantes dues à Euler,Legendre, Lagrange, 

 Carnot, "V. Staudt, Joachimstahl. Cayley, Siebeck, Baltzer, 

 Brioschi, etc., ont été développées et démontrées par M. Bal- 

 tzer dans les éditions successives de son excellent Traité des 

 Déterminants. Dans le travail actuel, je me propose d'ajou- 

 ter aux relations déjà connues quelques formules, peut-être 

 nouvelles, d'étendre ces formules au cas où l'on remplace 

 des points par des sphères et surtout de faire voir que toutes 

 ces équations s'obtiennent de la manière la plus naturelle 

 quand on étudie certaines formes homogènes à une ou à 

 deux séries de variables qui interviennent dans toute cette 

 théorie. 



Dans la première partie, je développe surtout les relations 

 mutuelles entre les groupes de points, les formules relatives 

 au volume du tétraèdre, au rayon de la sphère circonscrite, 

 et j'étends ces formules à un groupe de quatre sphères 

 quelconques. Les applications et les conséquences de ces 

 formules m'ont conduit à la découverte d'un triangle remar- 

 quable, qu'on doit considérer dans la discussion de tout 

 tétraèdre (ou quadrilatère). Ce triangle, qu'on pourrait appe- 

 ler adjoint au tétraèdre, est toujours possible quand le tétraè- 

 dre est construit, et il a pour côtés les trois produits des 

 arêtes opposées du tétraèdre. Sa forme demeure invariable 

 dans toute transformation par rayons vecteurs réciproques, 

 et il est semblable à l'un quelconque des quatre triangles qu'on 

 obtient en transformant le tétraèdre en un triangle par la mé- 

 thode des rayons vecteurs réciproques, le pôle étant placé 

 en un des quatre sommets. Les recherches que j'ai faites 

 m'ont appris qu'il y avait déjà été considéré par Joachims- 

 tahl, MM. Baltzer et V. Staudt (dans le Journal de M. Bor-- 

 chardt, t. XL, LIV, LVIl). 



