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Ce triangle subsiste encore pour tout quadrilatère, et il 

 est formé alors avec les produits des côtés opposés et le 

 produit des diagonales. Sa surface ne se réduit â zéro que 

 si le tétraèdre devient un quadrilatère inscriptible ; mais si 

 l'on admet l'intervention des imaginaires, il suffit que les 

 quatre sommets du tétraèdre soient sur une sphère de rayon 

 nul. Telle est donc la réciproque du premier théorème de 

 Ptolémée. Quand on a entre les côtés d'un tétraèdre la 

 relation 



aa! ± 66' ±: ce' = 



a, a', b, y c, c' désignant les couples d'arêtes opposées, le 

 tétraèdre a une sphère circonscrite de rayon nul. Je 

 développe une application, déjà indiquée par M. Cayley, de 

 cette conséquence, au problème des contacts : construire un 

 cercle tangent à 3 autres. Mais, pour cela, il faut employer 

 une notion importante relative aux cercles, et dont l'emploi 

 ne me paraît pas assez généralisé. 



On peut, à l'exemple de M. Chasles, élever au centre 

 d'un cercle C une perpendiculaire au plan de ce cercle égal 



à Rv/ — d, R désignant le rayon du cercle C (Voir Géométrie 

 supérieure et Résumé d'une théorie des coniques sphériques 

 homofocales, journal de M. Liouville, t. IV 2® série) On 

 adjoint ainsi à tout cercle C deux points M M' qui sont les 

 centres des 2 sphères de rayon nul, passant par le cercle. 

 Ces deux points peuvent être considérés comme déterminant 

 le cercle, et M. Cayley (dans un article des Annali de 

 MM. Brioschi et Cremona, t. I 1867) a proposé de les appeler 

 contre-foyers. Dans ces derniers temps, M. Laguerre les a aussi 

 considérés, pour obtenir la représentation des points imagi- 

 naires dans l'espace {Bulletin de la Société Philomathique). l\s 

 réalisent le dédoublement d'un cercle en 2 qui offre de grands 

 avantages dans toutes les questions de contact et d'angles. 

 Quand 2 cercles sont représentés par les couples de points 

 {M M') (N N') les distances M N = M'N', MIS' = M'N sont 

 "égales aux 2 tangentes communes, et, par suite, pour 

 que 4 cercles soient tangents à un 5^ cercle, il faut et il 

 suffit que les points qui représentent les 4 premiers soient 

 à une distance nulle d'un cinquième point quelconque, 



