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c'est-à-dire que la sphère qui leur est circonscrite soit de 

 rayon nul. On a donc ici Toccasion d'appliquer la réciproque 

 indiquée plus haut, du théorème de Ptolémée, et l'on voit 

 que cette réciproque qui paraissait n'avoir aucune utilité 

 donne un théorème se rapportant à des éléments complète- 

 ment réels. 



A la fin du travail, j'examine aussi les relations entre 

 les distances mutuelles de S points de l'espace, de 2 grou- 

 pes distincts et de deux groupes de 5 sphères ou même 

 d'un plus grand nombre de points ou de sphères. Les 

 conséquences de ces formules sont nombreuses, j'en indique 

 quelques-unes relatives à des problèmes dont on n'a pas fait 

 peut-être une étude détaillée. Je citerai d'abord le problème 

 de Steiner ; Construire un cercle coupant 5 cercles donnés 

 sous des angles donnés, dont Steiner avait promis, mais n'a 

 pas développé la solution. Je me suis attaché à donner des 

 constructions géométriques réelles, ne devenant impossibles 

 que si les cercles cherchés sont imaginaires. Les équations 

 des 8 cercles par couples de 2 sont aussi données. D'ail- 

 leurs l'analogie guide d'une manière complète et la méthode 

 de construction s'étend au problème analogue relatif aux 

 sphères. 



Un problème plus facile consiste à déterminer tous les 

 cercles coupant sous des angles égaux 4 cercles donnés ou 

 les sphères coupant sous des angles égaux 3 sphères don- 

 nées. Les solutions sont ici déterminées individuellement, 

 soit par l'analyse, soit par la géométrie. 



Je passe sous silence un grand nombre d'autres applica- 

 tions à des groupes remarquables de points ou de sphères, 

 aux tétraèdres admettant une sphère conjuguée, aux qua- 

 drilatères gauches situés sur une surface de révolution, à 

 2 tétraèdres correspondants tels que les arêtes de l'un soient 

 perpendiculaires à celles de l'autre, etc. 



Ce travail se termine par la démonstration directe d'une 

 équation remarquable, à laquelle j'avais été conduit d'une 

 manière incidente dans d'autres travaux plus anciens et qui 

 lie les puissances d'un point par rapport à 5 sphères quel- 

 conques. Les recherches actuelles peuvent être considérées 

 comme la préparation à une étude plus complète du sysième 

 de coordonnées surabondantes que j'ai déjà employé plusieurs 



