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Sur la surface de Steiner, par M. Laguerre. 



Les lignes asymptotiques de la surface de Steiner ont été 

 données par M. Clebsch; on en déduit facilement les lignes 

 asymptotiques de la surface de troisième ordre à quatre points 

 nodaux qui en est la réciproque. 



En étudiant récemment cette dernière surface, j'en ai re- 

 trouvé les lignes asymptotiques sous une forme qui paraîtra 

 peut-être présenter quelque intérêt, même après les recher- 

 ches dont je viens de parler. 



Soit M un point quelconque de la cubique à quatre points 

 nodaux; d'après la propriété fondamentale de cette surface, 

 le cône circonscrit à la surface, qui a pour sommet le point 

 M, se décompose en deux cônes du second degré dont cha- 

 cun touche la surface suivant une cubique gauche. 



« Cela posé, les deux surfaces développables, qui ont ces 

 cubiques pour arêtes de rebroussement, coupent la surface 

 suivant les deux lignes asymptotiques qui se croisent au 

 point M. » 



Soit tracée sur la surface une ligne asymptotique quelcon- 

 que Z; de chacun des points de cette courbe on peut me- 

 ner deux cônes du second degré circonscrits à la surface. 

 La cubique gauche, qui est la courbe de contact d'un de ces 

 cônes, est l'arête de rebroussement d'une surface dévelop- 

 pable passant par Z. 



Je dirai que cette cubique appartient à Tasymptotique Z. 

 Toutes les cubiques qui appartiennent à Z passent par les 

 quatre points nodaux ; les cônes circonscrits à la surface 

 suivant ces courbes ont leurs sommets sur Z; les surfaces 

 développables dont elles sont les arêtes de rebroussement 

 contiennent cette courbe. 



Deux quelconques d'entre elles , indépendamment des 

 quatre points nodaux, se coupent en un cinquième point qui 

 est le sommet d'un cône du second degré passant par ces 

 deux cubiques. 



