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Sur un nouveau système de coordonnées et sur les polygones 

 circonscrits aux coniques, par M. G. Darboux. 



Dans un mémoire présenté en 1868 à l'Académie des 

 sciences, j'ai été conduit à une démonstration indirecte des 

 tliéorèmes de Poncelet sur les polygones inscrits à une co- 

 nique et circonscrits à une autre. Cette démonstration m'a- 

 vait paru mériter d'être développée parce qu'elle donnait, 

 sans l'emploi des coordonnées elliptiques, et au moyen d'une 

 transformation analytique des plus simples, la proposition 

 fondamentale de Poncelet : Quand un polygone est à la fois 

 inscrit à une conique et circonscrit à une autre, il y a une 

 infinité de polygones jouissant des mêmes propriétés. Depuis, 

 en examinant la méthode employée^ j'ai reconnu qu'elle 

 était susceptible d'extension, et que, par sa nature même, 

 elle conduisait à des théorèmes ayant la plus grande analogie 

 avec ceux de Poncelet, et qu'on peut considérer comme des 

 généralisations des propositions de l'illustre géomètre. Si, 

 après tant de belles démonstrations, soit analytiques, soit 

 géométriques de ces propositions, je me permets d'en pro- 

 poser une nouvelle, c'est que celle-ci me paraît réellement 

 se distinguer par quelques principes qui n'ont pas encore été 

 employés dans l'étude de cette question. Quelques-uns des 

 théorèmes contenus dans cette note ont déjà été énoncés 

 dans un travail sur les systèmes linéaires de coniques et ds 

 surfaces du second ordre, inséré au t. I du Bulletin des 

 Sciences mathématiques et astronomiques. M. Weyr, dans un 

 article inséré au Journal de M. Borchardt avait aussi rencontré, 

 en étudiant les involutions sur les coniques, des propositions 

 générales relatives à des courbes de degré supérieur, qui 

 sont démontrées dans le travail actuel. 



I. Considérons une section conique (K) tracée dans le plan 

 et supposons que l'on obtienne toutes les tangentes à cette 

 conique en faisant varier le paramètre m dans l'équation : 



(1) a m2 4- ^ m -f Y = 



