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Il y a deux cas à distinguer suivant que l'équation est ou 

 n'est pas symétrique par rapport à p et à p^. 



Supposons d'abord qu'elle ne soit pas symétrique et qu'elle 

 soit du degré m en p, du degré m^ en pj. Pour trouver le 

 degré du lieu qu'elle représente, nous allons chercher le 

 nombre de points qu'il a sur une tangente quelconque à la 

 conique (K). Or, une telle tangente est définie par l'une des 

 équations 



p = a ou pi = a ; 



à la valeur p = o correspondent m^ valeurs de p^ et par 

 conséquent m\ points ; à la valeur pi = a correspondent de 

 même, m points. On a donc en tout (m -4- Wj) points de la 

 courbe sur la tangente; en d'autres termes, la courbe est du 

 degré m -\- m^. 



Si, au contraire, l'équation de la courbe est symétrique, 

 elle est nécessairement du même degré, wî, en p et en pi- 

 Les deux hypothèses ç) ■=. a^, p^ = a donnent les mêmes 

 points ; la courbe est du degré m. 



J'omets un cas intermédiaire où l'équation (§) cesserait 

 d'être indécomposable, et que nous n'aurons pas à considérer. 



Réciproquement, toute courbe du degré m est représentée 

 par l'équation la plus générale, symétrique en p et pi, et du 

 degré m par rapport à chacune des variables. C'est ce qui 

 résulte des iormules (3) de substitution, et aussi d'un calcul 

 relatif au nombre des coefficients arbitraires. Car on recon- 

 naîtra que l'équation symétrique la plus générale du degré 



(m 4-1) (m 4-2) , ^. . 



m en p contient -^^ ' — -^ ■ — - paramètres arbitraires. 



Nous pouvons maintenant, à l'aide de ces seules remar- 

 ques, démontrer plusieurs théorèmes généraux sur les poly- 

 gones inscrits et circonscrits. 



III. Soit d'abord une courbe d'ordre n passant par l'inter- 

 section de deux faisceaux de n droites A^, A2, A3,... A„; B^, 

 B2,... B„. Son équation générale sera de la forme. 



(6) A, A2... A„ = K. Bi B,... B„. 



Supposons que les droites Ai, B^, soient toutes tangentes à 

 la conique (R), on pourra poser 



