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définira une courbe satisfaisant aux conditions indiquées se 

 ramenant à la forme (14) et contenant m — n paramètres 

 arbitraires. La proposition est donc démontrée. 



Par exemple, étant donnés deux quadrilatères circonscrits 

 à une conique, on peut faire passer par leurs douze sommets 

 une courbe du 3® ordre, qui contiendra les sommets d'une 

 infinité d'autres quadrilatères circonscrits à la même conique 

 que les deux premiers. 



V. Les théorèmes de Poncelet sont, dans toute leur géné- 

 ralité, une conséquence directe des propositions précédentes. 

 Car supposons qu'une conique C contienne les w + 1 som- 

 mets d'un polygone de w + 1 côtés circonscrits à la co- 

 nique R et formé des droites A, Aj, A2,... A„. Alors on 

 pourra disposer des constantes contenues dans l'équation 



de telle manière que la courbe représentée par cette équatioii 

 ait n points nouveaux sur la conique C, et comme elle con- 

 tient aussi les w -4- 1 sommets du polygone situés sur la 

 conique C, cette courbe de degré n aura en tout 2 n -|- 1 

 points communs avec la conique G et par conséquent la 

 contiendra tout entière. Ainsi, avec des valeurs convenables 

 des constantes ai, l'équation (17) représente une courbe 

 composée formée de la conique C et d'une autre courbe C 

 de degré n — 2. Cette courbe composée (C C) contient, 

 d'ailleurs, d'après ce qui précède, les sommets d'une suite 

 continue de polygones, tous circonscrits à la conique (K), 

 par conséquent la conique C contiendra sur chaque côté 

 deux sommets de ce polygone. Les théorèmes de Poncelet 

 se trouvent ainsi démontrés. 



Quant à la courbe (C), on démontrera de la manière sui- 

 vante qu'elle se compose de coniques (et d'une droite, dans 

 le cas des polygones d'un nombre pair de côtés). 



L'équation particulière de la conique (C) étant de la forme 



(18) A(p2^.p,2) + Bpp,-l-C(p+pOpp^ + D(p4-pO + E = 

 une tangente p = a la coupera en deux points donnés par 



