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l'ordre des nombres Ni, N2, . . ., il faut que f ( ) soit li- 

 néaire par rapport à sa variable. 



Désignons par a et 6 deux nombres consécutifs de la suite 

 donnée, par R la somme obtenue avant l'emploi de a ou de 

 b. Si a précède b, l'emploi des nombres N^, N2, ... a, 6, 

 donne 



(2) R + «/-(R) + &/'[R + af{K)l 



Si b précède a, l'emploi des nombres Nj, Nj, . . ., 6, a, 

 donne 



(3) R + 6 / (R) + « /• [R + 6 /■ m 



Pour que l'interversion des nombres a et 6 n'influe pas 

 sur le résultat, il faut que les expressions (2 et 3) soient 

 égales pour toutes valeurs de a, de 6 et de R. Ce qui donne 



.,R. ^ af[R + 6f(R)] -bnK + af{K)] 

 ' ^ a — b 



Différenciant par rapport à a et réduisant, on obtient 



/•[R +« /•(R)J~/'[R + 6f (R)] =(a-6) f (R) f [K + afiR)] 



Différentiant par rapport à 6, on a de même 



m+bfm-f[R+am\=^{b-^a)mnK+bf{R)] 



D'où l'équation 



f'[R + af (R)] = f [R + 6 /• (R)] 



qui doit être satisfaite quels que soient R, a et 6; /' ( ) est 

 donc une constante et f { ) est linéaire. 



Dans la formule (1), si l'on fait croître n au delà de toutes 

 limites, le polynôme Rn se transforme en une série. 



Théorème. — La série 



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