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est convergente et a pour somme l'unité. 



Elle est convergente, puisque, si loin qu'on aille dans la 

 série, la somme des termes envisagés est toujours inférieure 

 à 1 et que d'ailleurs tous les termes sont positifs. 



Elle a pour somme l'unité, puisqu'elle exprime la proba- 

 bilité qu'a un nombre d'être divisible au moins par un 

 nombre premier. 



Théorème. — La série 



9 + g(l-Ç) + 9[l-9~9(l-9)]+..- +g(l-Rn)+... 



où Rn représente la somme des n premiers termes est conver- 

 gente et a pour somme Vunité. 

 On démontrera facilement que 



g (1 - R,) = g (1 - qY 



en sorte que la série proposée revient à la progression géo- 

 métrique 



qj^q(i^q) j^q{\ ^qf + ... 



qui a pour somme l'unité. 



La série proposée n'est donc pas réellement fonction de q. 

 Toutefois la valeur de q influe sur la série, en ce sens que 

 la convergence sera d'autant plus rapide que q différera 

 moins de l'unité. Si g = 1, la série devient 



1 + 1 X (1 — 1) 4- 1 X (1 - 1) + ... 



II. Études sur les séries. 



Les deux séries étudiées ci-dessus ont cela de particulier 

 que chaque terme d'^pend de la somme des termes précédem- 

 ment obtenus. 



Je vais m'occuper des séries de ce genre, et je désignerai 

 par Rnla somme des n premiers de la série, par R la somme 

 de la série. Je représenterai la série par son terme général 



?(Rn) 



