— 434 — 



Mais on peut retenir l'équation (2S) qui détermine aussi bien 

 les propriétés de la courbe. 



Supposons par exemple que l'équation (25) soit du degré 

 m en X et « en p. A une valeur de p, a, correspondront m 

 valeurs de X, X^, X2, X3, ... Xm, et à chacune de ces va- 

 leurs correspondront n — 4 nouvelles valeurs de p. En 

 d'autres termes, la tangente p = a coupera la courbe en 

 m (n — 4) points; la courbe sera de l'ordre m (n — 4). 



D'ailleurs, l'équation (25) détermine pour chaque valeur 

 de X, un polygone de n côtés qui se meut en étant inscrit à 

 la courbe, et circonscrit à la conique (K). Il suffit seulement 

 que n soit supérieur à 2. 



IX. Si n est égal à 2, l'équation (25) peut s'écrire 



(26) Ap2-f-2Bp + C=U = 



où A, B, C sont des fonctions algébriques de X. A chaque 

 valeur de X correspondent deux valeurs de p et un seul point 

 de la courbe La courbe U est donc unicursale, mais la forme 

 précédente d'équations de ces courbes, qui me paraît nou- 

 velle, offre l'avantage de conduire, presque sans effort, à un 

 théorèmiî entrevu par Jacobi pour ces courbes, et à l'intro- 

 duction des fonctions ultra-elliptiques dans cette théorie. 



C'est un théorème bien connu d'analyse, que si dans l'é- 

 quation (26) contenant une des deux variables p au second 

 degré et l'autre X au degré n, on donne à p une valeur quel- 

 conque^ à cette valeur de p correspondront n valeurs de X, 

 \y \> ^3> • • • ^nj telles que la somme des intégrales 



Ç TJ (Xj) d Xj 



^^"'^ J v/BV=XCi 



étendue à toutes les racines (où Bi, Ai, d, désignent ce que 

 deviennent A, B, G, quand on substitue Xi à la place de X, 

 et où 17j (X) est un polygone de di'gré inférieur k n — 4) 

 est constante, quelle que soit la valeur donnée primitivement 

 à la variable p. 



