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En appliquant ce théorème à la question de géométrie que 

 nous avons à étudier, nous voyons que 



Si l'on coupe la courbe unicursale U, d'ordre n, par les 

 tangentes à une conique quelconque K, la somme des intégrales 

 ultra-elliptiques (27) correspondant aux n points d'intersection 

 de la tangente et de la courbe demeure constante. 



Si les fonctions A, B, G étaient du second degré, la courbe 

 U serait une conique, ce qui donne un point de départ ana- 

 lytique extrêmement simple à la démonstration des théo- 

 rèmes de Poncelet, par les fonctions elliptiques. Mais nous 

 ne poursuivrons pas ce mode de démonstration. 



X. Supposons, au contraire, que l'équation (25) soit d'un 

 degré quelconque par rapport à p, et du second degré en X 

 on pourra l'écrire 



(27) V = AX2 + 2BX-}-G = 



oii A, B, G désignent des polynômes du degré n en p. Cette 

 équation convient, d'après les remarques faites plus haut, à 

 une courbe V de degré 2 w — 1, et l'on reconnaîtra que, 



dans le cas général, cette courbe a-^^ — ^points 



doubles à l'intersection des trois courbes du degré n — i 



_ A Bi — B At _ A Cl — G A4 _ B Gt — G Bi 



"~ P — pi P — Pi P — Pi 



Elle est circonscrite à une infinité de polygones de w côtés 

 dont elle contient tous les sommets et dont tous les côtés 

 sont tangents à la conique (K). Ces côtés sont déterminés 

 par les n valeurs de p que l'on déduit de l'équation (27) 

 pour chaque valeur de X. D'ailleurs ces n valeurs de p sa- 

 tisfont, d'après le théorème de Jacobi rappelé plus haut, aux 

 n — 1 équations 



/ -^ ( Pl) d pi /^ 16 (pn) d pn 



où l'on prend successivement pour -u^ (p) 1, p, p', . . . p° ~ 2. 

 Ces dernières équations (28) ne sont autres que les équations 



