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différentielles abéliennes considérées si souvent par Jacobi et 

 M. Liouville. D'ailleurs, les valeurs de p, racines de l'équa- 

 tion 



62 — A C = 



déterminent 2 n tangentes à la conique (K) qui sont aussi 

 tangentes à la courbe V chacune en n — 1 points. Nous 

 sommes donc conduits à cette conclusion que dans notre 

 système de coordonnées les équations différentielles ultra-ellip- 

 tiques (28) sont intégrées par des courbes de l'ordre 2 (n — i) 

 tangentes à 2 n tangentes de la conique (K) et à chacune en 

 n — 1 points. 



Par exemple, pour w = 2 les équations (28) se réduisent à 

 une seule 



^Pi ■ f^P-2 _Q 



^^^^ S/Bi^ _ Al Cl s/B2' - A2 C2 



C'est l'équation d'Euler relative aux fonctions elliptiques. 

 On voit qu'elle est intégrée par toutes les coniques inscrites 

 dans un quadrilatère circonscrit à la conique (R). L'équation 

 de ce quadrilatère est B^ — A C = 0. 



Pour w = 3, on a la première classe des fonctions ultra- 

 elliptiques. Les équations (28) se réduisent à deux, le poly- 

 nôme B^ — A C est du sixième degré. Les courbes intégrant 

 les deux équations différentielles sont des courbes de qua- 

 trième ordre à un point double, admettant pour tangentes 

 doubles les six côtés fixes d'un hexagone circonscrit à la 

 conique (K), etc. 



Quant à l'équation des courbes (V) dans le cas général, 

 c'est-à-dire à la relation entre p et p^ pour chaque point de 

 la courbe, il est à remarquer qu'on l'obtiendra sans diffi- 

 culté. Il suffira d'écrire la relation entre deux racines p pi 

 de l'équation (27) , ce qui donnera 



(A Cl — G Ai)2= 4 (A Bi — B Ai) (B Ci — C Bi). 



Cette forme met en évidence le facteur à supprimer (p — pi)^ 

 qui, égalé à 0, donne la conique (K). La suivante: 



2 (BBi — A Cl — C Ai)2~4(B'- — AC)(B,2— AiC,) = 



