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tact aj a2, a^ a^, etc., sont tangentes à une courbe du 6* 

 ordre et de la 3^ classe qu'on appelle Cayleyenne du réseau. 

 Ainsi, toutes les tangentes à la Cayleyenne coupent la courbe 

 du 4® ordre en quatre points qui se déterminent par groupes 

 de deux. Cette remarque établit une correspondance digne 

 d'étude entre une courbe de 3® classe la Cayleyenne et la 

 courbe générale du ¥ ordre. 



Dans le cas oii la courbe du ¥ ordre (V4) a un point double 

 ou même plusieurs points doubles, il y a toujours un sys- 

 tème de coniques, an moins, inscrites dans la courbe et 

 contenant toutes un seul des points doubles a. Ces coniques 

 déterminent un réseau, et comme elles passent par un point 

 fixe, la cayleyenne se réduit à une conique (K). Alors chaque 

 conique est tangente à (V4) en trois points seulement, et les 

 droites qui joignent ces trois points enveloppent la conique 

 (K). C'est le mode de génération qu'il s'agissait de retrouver. 



L'équation (2";) de la courbe (V4) nous permet d'ailleurs 

 d'exprimer les coordonnés de tout point de la courbe (V4) en 

 fonction d'une arbitraire. Car donnons-nous une des racines 

 p ■=. u, on exprimera X en fonction de u par une formule 

 contenant un radical du 6® degré, et les deux autres valeurs 

 de p, p", pi, seront données par une équation du second de- 

 gré. Les fonctions + Pi P Pi ci^i sont les coordonnées 

 ordinaires, s'exprimeront donc en fonction rationnelle de u 

 et \ ou, si l'on veut, en fonction de u et d'un radical carré 

 du Q"- degré en u. 



XIL Le théorème le plus général de Poncelet est compris 

 implicitement dans ce qui précède. Il suffira de quelques 

 mots pour le démontrer. A cet effet, remarquons que si un 

 triangle A B C est circonscrit à la courbe (K); il sera déter- 

 miné par les valeurs p<, p.2, pa du paramètre p qui convien- 

 nent à ses trois côtés ABC. Cela posé, les coordonnées des 

 sommets seront : pour A, p2, P3 ; pour B, pi,P3; pour C, pi, p2. 

 Par suite, si les sommets A, B décrivent des courbes définies 

 par les équations 



(31) /•(Pi,p3)=0 9(P2,P3) = 



il suffira, pour avoir la courbe décrite par le 5^ sommet C 

 d'éliminer p3 entre ces deux équations. 



